[math][東京工業大学][複素数平面]2018年東京工業大学数学問題1

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問題

$a, b, c$ を実数とし、 $3$ つの $2$ 次方程式 $\begin{array}{rcl} x^{2} + a x + 1 & = & 0 ・・・・・・① \\ x^{2} + b x + 2 & = & 0 ・・・・・・② \\ x^{2} + c x + 3 & = & 0 ・・・・・・③ \end{array}$ の解を複素数平面で考察する。
$(1)$ $2$ つの方程式 $①, ②$ がいずれも実数解を持たないとき、それらの解はすべて同一円周上にあるか、またはすべて同一直線上にあることを示せ。また、それらの解がすべて同一円周上にあるとき、その円の中心と半径を $a, b$ を用いて表わせ。
$(2)$ $3$ つの方程式 $①, ②, ③$ がいずれも実数解を持たず、かつそれらの解がすべて同一円周上にあるための必要十分条件を $a, b, c$ を用いて表わせ。

方針

$(1)$ が当たり前と思えるかどうか $\dots$

解答

$(1)$ $①$ が実数解を持たないとき、 $a^{2} - 4 < 0$ が必要で、解は $x = \frac{- a \pm i \sqrt{4 - a^{2}}}{2}$ である。 $②$ が実数解を持たないとき、 $b^{2} - 8 < 0$ が必要で、解は $\frac{- b \pm i \sqrt{8 - b^{2}}}{2}$ である。 $①, ②$ は実数解を持たないので、 $①, ②$ の解の実部が等しい場合（ $a = b$ のとき）と、そうでない場合（ $a \neq b$ のとき）がある。

前者の場合、虚部が一致すると仮定すると、 $\begin{array}{rcl} \sqrt{4 - a^{2}} & = & \sqrt{8 - b^{2}} \\ 4 - a^{2} & = & 8 - b^{2} \\ b^{2} - a^{2} & = & 4 \end{array}$ となり成り立たないので、虚部が異なる。したがって、解は同一直線上にある。後者の場合は実部が異なるので虚部が同一でも異なっていても解は同一円周上にある。すべての解が同一円周上にあるとき、円の中心は対称性から実軸上にあるが、その座標を $p$ とすると、 ${(p + \frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{4 - a^{2}}}{2})}^{2} = {(p + \frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{8 - b^{2}}}{2})}^{2}$ が成り立つ。これを整理すると、 $p = \frac{1}{a - b} (a \neq b)$ となる。すると、 $\begin{array}{rcl} {(p + \frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{4 - a^{2}}}{2})}^{2} & = & p^{2} + a p + 1 \\ = & \frac{1}{(a - b)^{2}} + \frac{a}{a - b} + 1 \\ = & \frac{2 a^{2} - 3 a b + b^{2} + 1}{(a - b)^{2}} \end{array}$ である。分子は $2 a^{2} - 3 a b + b^{2} + 1 = {(b - \frac{3 a}{2})}^{2} + 1 - \frac{a^{2}}{4}$ であるから、正である。したがって、円の中心は $\underset{―}{\frac{1}{a - b}}$ で、半径は $\underset{―}{\frac{\sqrt{2 a^{2} - 3 a b + b^{2} + 1}}{| a - b |}}$ となる。

$(2)$ $a = b = c$ のとき $①, ②, ③$ の実部はすべて等しく、虚部はそれぞれ異なるので、解は同一直線上にある。したがって、まず $a \neq b, b \neq c, c \neq a$ が必要である。 $③$ が実数解を持たないとき、 $c^{2} - 12 < 0$ が必要で、解は $x = \frac{- c \pm i \sqrt{12 - c^{2}}}{2}$ である。 $(1)$ の円周を $x y$ 座標で表現すると、 ${(x - \frac{1}{a - b})}^{2} + y^{2} = \frac{2 a^{2} - 3 a b + b^{2} + 1}{(a - b)^{2}}$ である。この円周上に点 $(- \frac{c}{2}, \frac{\sqrt{12 - c^{2}}}{2})$ があれば良い。 $\begin{array}{rcl} {(- \frac{c}{2} - \frac{1}{a - b})}^{2} + {(\frac{\sqrt{12 - c^{2}}}{2})}^{2} & = & \frac{2 a^{2} - 3 a b + b^{2} + 1}{(a - b)^{2}} \\ ⟺ \frac{c^{2}}{4} + \frac{c}{a - b} + \frac{1}{(a - b)^{2}} + \frac{12 - c^{2}}{4} & = & \frac{2 a^{2} - 3 a b + b^{2} + 1}{(a - b)^{2}} \\ ⟺ \frac{c}{a - b} + 3 & = & \frac{a}{a - b} + 1 \\ ⟺ \frac{a - c}{a - b} & = & 2 \\ ⟺ a + c = 2 b \end{array}$ である。したがって、求める条件は $\underset{―}{a \neq b, b \neq c, c \neq a, - 2 < a < 2, - 2 \sqrt{2} < b < 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{3} < c < 2 \sqrt{3}, a + c = 2 b}$ である。