[math][東京工業大学][座標平面]2016年東京工業大学数学問題1

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問題

$a$を正の定数とし、放物線$\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$を$C_1$とする。
$(1)$ 点$P$が$C_1$上を動くとき、$P$と点$\displaystyle Q\left(2a, \frac{a^2}{4}-2\right)$の距離の最小値を求めよ。
$(2)$ $Q$を中心とする円$\displaystyle (x-2a)^2+\left(y-\frac{a^2}{4}+2\right)^2 = 2a^2$を$C_2$とする。$P$が$C_1$上を動き、点$R$が$C_2$上を動くとき、$P$と$R$の距離の最小値を求めよ。

方針

$(2)$はもちろん$(1)$が利用できる。

解答

$(1)$ 点$P$の座標を$\displaystyle \left(p, \frac{p^2}{4}\right)$とする。$PQ$の距離の二乗を$l^2$とすると、$$\begin{eqnarray}l^2 & = & \left(p-2a\right)^2+\left(\frac{p^2}{4}-\left(\frac{a^2}{4}-2\right)\right)^2\\ & = & \frac{p^4}{16}-p^2\left(\left(\frac{a^2}{8}-1\right)-1\right)-4ap+4a^2+\left(\frac{a^2}{4}-2\right)^2\\ & = & \frac{p^4}{16}-\left(\frac{a^2}{8}-2\right)p^2-4ap+4a^2+\left(\frac{a^2}{4}-2\right)^2\end{eqnarray}$$である。したがって、$$\begin{eqnarray}\frac{dl^2}{dp} & = & \frac{p^3}{4}-\left(\frac{a^2}{4}-4\right)p-4a\\ & = & \frac{p^3-a^2p+16p-16a}{4}\\ & = & \frac{p(p+a)(p-a)+16(p-a)}{4}\\ & = & \frac{(p-a)(p(p+a)+16)}{4}\\ & = & \frac{(p-a)(p^2+ap+16)}{4}\end{eqnarray}$$であるが、$$p^2+ap+16 = 0$$の判別式は$D = a^2-64$であるから、$0<a< 8$のとき、$l^2$の増減表は以下のようになる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline p & -\infty & \cdots & a & \cdots & \infty \\ \hline \frac{dl^2}{dp} & & – & 0 & + & \\ \hline l^2 & \infty & \searrow & a^2+4 & \nearrow & \infty \\ \hline \end{array}

また、$a\geq 8$のとき、$l^2$の増減表は以下のようになる。\begin{array}{|c|*9{c|}}\hline p & -\infty & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots & a & \cdots & \infty \\ \hline \frac{dl^2}{dp} & & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + & \\ \hline l^2 & \infty & \searrow & & \nearrow & & \searrow & a^2+4 & \nearrow &\infty \\ \hline \end{array}ただし、$\displaystyle \alpha = \frac{-a-\sqrt{a^2-64}}{2}, \beta = \frac{-a+\sqrt{a^2-64}}{2}$である。ここで、$$\begin{eqnarray}l^2_{|p = \alpha} & = & (\alpha-2a)^2+\left(\frac{{\alpha}^2}{4}-\left(\frac{a^2}{4}-2\right)\right)^2\\ & \geq & (\alpha-2a)^2\\ & \geq & 4a^2\\ & > & a^2+4\end{eqnarray}$$である。

よって、求める$PQ$の最小値は$\underline{\sqrt{a^2+4}}$である。

$(2)$ $C_2$の半径は$\sqrt{2}a$である。$(1)$から$P$と$Q$の距離の最小値は$\sqrt{a^2+4}$であるから、
$\ \ \ (i)$ $\sqrt{2}a \geq \sqrt{a^2+4}$、すなわち$a\geq 2$のとき、$C_1$と$C_2$は共有点をもつので、$P, R$の距離の最小値は$0$になる。
$\ \ \ (ii)$ $a< 2$のとき、$(1)$から$P, R$の距離の最小値は$\sqrt{a^2+4}-\sqrt{2}a$となる。
まとめると、求める答えは$$\underline{\begin{cases}\sqrt{a^2+4}-\sqrt{2}a\ (a< 2)\\ 0\ (a\geq 2)\end{cases}}$$である。