[math][東京大学][整式]2023年東京大学理系数学問題5

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問題

整式$f(x) = (x-1)^2(x-2)$を考える。
$(1)$ $g(x)$を実数を係数とする整式とし、$g(x)$を$f(x)$で割った余りを$r(x)$とおく。${g(x)}^7$を$f(x)$で割った余りと${r(x)}^7$を$f(x)$で割った余りが等しいことを示せ。
$(2)$ $a, b$を実数とし、$h(x) = x^2+ax+b$とおく。${h(x)}^7$を$f(x)$で割った余りを$h_1(x)$とおき、${h_1(x)}^7$を$f(x)$で割った余りを$h_2(x)$とおく。$h_2(x)$が$h(x)$に等しくなるような$a, b$の組をすべて求めよ。

方針

$(1)$ $g(x)\equiv r(x)\pmod{f(x)}$なので、${g(x)}^7\equiv {r(x)}^7$となる。

$(2)$ $f^{\prime}(1) = 0$を利用する。

解答

$(1)$ $g(x)$を$f(x)$で割ったときの商を$q(x)$とすると、$$g(x) = f(x)q(x) + r(x)$$である。すると、$$\begin{eqnarray}{g(x)}^7 & = & (f(x)q(x)+r(x))^7\\ & = & f(x)({f(x)}^6{q(x)}^7+\cdots) + {r(x)}^7\end{eqnarray}$$である。したがって、${g(x)}^7$を$f(x)$で割った余りと${r(x)}^7$を$f(x)$で割った余りは等しい。

$(2)$ $h_1(x)$は$2$次式なので、$h_1(x) = px^2+qx+r$とする。${h(x)}^7$を$f(x)$で割ったときの商を$q_1(x)$、${h_1(x)}^7$を$f(x)$で割ったときの商を$q_2(x)$とすると、与えられた条件から$$\begin{cases}{(x^2+ax+b)}^7 & = & (x-1)^2(x-2)q_1(x) + px^2+qx+r \\ {(px^2+qx+r)}^7 & = & (x-1)^2(x-2)q_2(x) + x^2+ax+b \end{cases}\tag{a}\label{a}$$である。\eqref{a}で$x = 1, 2$とすると$$\begin{cases}(1+a+b)^7 & = & p+q+r\\ (4+2a+b)^7 & = & 4p+2q+r\\ (p+q+r)^7 & = & 1+a+b\\ (4p+2q+r)^7 & = & 4+2a+b\end{cases}\tag{b}\label{b}$$である。これから$$\begin{cases}(1+a+b)^{49} & = & (1+a+b)\\ (4+2a+b)^{49} & = & (4+2a+b)\end{cases}\tag{c}\label{c}$$となる。また、\eqref{a}を$x$で微分して、$x = 1$とすると、$f^{\prime}(1) = 0$であるから、$$\begin{cases}7(1+a+b)^{6}(2+a) & = & 2p+q\\ 7(p+q+r)^6(2p+q) & = & 2+a\end{cases} \tag{d}\label{d}$$となる。\eqref{b}と\eqref{d}の下の式から、$$7(1+a+b)^{42}\cdot 7(1+a+b)^{6}(2+a) = 2+a$$である。整理して、$$49(1+a+b)^{48}(2+a) = 2+a\ \tag{e}\label{e}$$である。$2+a\ne 0$とすると、\eqref{e}から$49(1+a+b)^{48} = 1$となるが、これは\eqref{c}に反する。したがって$2+a = 0$であり、\eqref{c}から$(b-1)^{49} = b-1, b^{49} = b$となる。これを満たすのは$b = 0, 1$である。以上から、求める$a, b$の組は$\underline{(a, b) = (-2, 0), (-2, 1)}$となる。

（別解）$(1)$から$({h(x)}^7)^7 = {h(x)}^{49}$を$f(x)$で割った余りと${h_1(x)}^7$を$f(x)$で割った余りは等しい。したがって、題意から${h(x)}^{49}$を$f(x)$で割った余りは$h(x)$になる。${h(x)}^{49}$を$f(x)$で割ったときの商を$q_2(x)$とすると、$${(x^2+ax+b)}^{49} = f(x)q_2(x) +x^2+ax+b$$となる（以下同様）。

解説

$(2)$ 解答では${h(x)}^49-h(x)$が$f(x)$で割り切れる条件を求めていることになる。この必要十分条件は$f(x) =0$の解が重解を含めて$x = 1, 1, 2$なので、$F(x) = {h(x)}^{49}-h(x)$としたとき、$$\begin{cases}F(1) = 0\\ F^{\prime}(1) = 0\\ F(2) = 0\end{cases}$$となる。必要十分条件なので、解答では$a, b$の組が出てきた後に十分性の確認は行なっていない。なお、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & 2(x-1)(x-2) + (x-1)^2\end{eqnarray}$$となるので、$f^{\prime}(1) = 0$なのである。