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問題 $n$を正の整数とする。${\displaystyle -\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}}$の範囲において$$f_n(x) = \begin{cases}\displaystyl...

問題 正の実数$a,b,c$を係数とする$2$次式$f(x)=a{x}^2+bx+c$に関して、次の条件$C$を考える。条件$C:$ $3$で割り切れないすべての整数$x$について、$f(x)$が...

問題 $(1)$ $f(x)$は$a\le x\le b$で連続な関数とする。このとき、$$\begin{gathered} \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c) \\ a\le c\le b \end{gathered}$$となる\(c...

問題 $xyz$座標空間に$5$点$A(1,1,0),B(-1,1,0),C(-1,-1,0),D(1,-1,0),P(0,0,3)$をとる。四角錐$PABCD$の\(x^2+y^2\ge...

問題 $n=1,2,3,\cdots$に対して数列${\displaystyle a(n)=\frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n!}}$を考える。$(1)$ \(\displaystyle \lim...

問題 座標平面または座標空間において、座標成分がすべて整数である点を格子点という。以下の各問に答えよ。$(1)$ $C_1$を座標平面上の半径$0.5$の円とする。$C_1$が内部に格子点を含まないとき、\(C_1\...

問題 $xy$平面において、次の円$C$と楕円$E$を考える。$$\begin{array}{r}C:x^2+y^2=1\\ E:x^2+\frac{y^2}{2}=1\end{array}$$また、$C$...

問題 $x$についての方程式$p{x}^2+(p^2-q)x-(2p-q-1)=0$が解をもち、すべての解の実部が負となるような実数の組$(p,q)$の範囲を$pq$平面上に図示せよ。（注）複素数$a+bi$（\(...

問題 以下の問に答えよ。ただし、$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$が無理数であることは使ってよい。$(1)$ 有理数$p,q,r$について、\(p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3} =...

問題 $2$以上の整数$n$に対して方程式$x_1+x_2+\cdots +x_n=x_1{x}_2\cdots x_n$の正の整数解$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$を考える。ただし、たとえば\(...