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問題 \(f(x)\)は\(x\)に関する\(n\)次の整式（多項式）とする（\(n\geq 0\)）。\((1)\) \(2\)変数\(x, y\)の整式として$$f(x+y) = P_0(x) + P_1(x)y+P_2(x)y...

問題 \(n\)を正の整数とするとき、次の問いに答えよ。\((1)\) \(\displaystyle S_n = \int_{0}^{1}{\frac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}dx}\)の値を求めよ。\((2)\) \...

問題 次の条件\((A), (B)\)を満たす関数\(f_n(x) (n=1, 2, 3, \cdots)\)を考える。\((A)\) \(f_n(x)\)は\(x\)の\(n\)次式で表される。\((B)\) 任意の実数\(\th...

問題 \(\displaystyle a = \sin^2{\frac{\pi}{5}}, b = \sin^2{\frac{2\pi}{5}}\)とおく。このとき、以下のことが成り立つことを示せ。\((1)\) \(a+b\)およ...

問題 \(a, b\)を正の実数とし、曲線\(\displaystyle C: y = b\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}\)を考える。このとき以下の各問に答えよ。\((1)\) \(u\)を実数とし、\(C\)上の...

問題 \((1)\) \(a > 0, b\geq 0\)のとき、次の値の大小関係を調べよ。$$\int_{b}^{b+1}{\frac{dx}{\sqrt{x+a}}}, \frac{1}{\sqrt{a+b}}, \frac{1...

問題 次の条件を満たす組\(x, y, z\)を考える。条件\((A)\): \(x, y, z\)は正の整数で、\(x^2+y^2+z^2=xyz\)および\(x\leq y\leq z\)を満たす。以下の問に答えよ。\((1)\...

問題 空間の\(1\)点\(O\)と通る\(4\)直線で、どの\(3\)直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、\(4\)直線のいずれとも\(O\)以外の点で交わる平面で、\(4\)つの交点が平行四辺形の頂点になるような...

問題 \((1)\) 定積分\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}{e^{-x}\sin{x}dx}\)を求めよ。\((2)\) 極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\in...