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問題 \(a_1 = \frac{1}{2}\)とし、数列\(\{a_n\}\)を漸化式$$a_{n+1} = \frac{a_{n}}{(1+a_n)^2}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$によって定める。このと...

問題 \(a+b+c = 0\)を満たす実数\(a, b, c\)について、\((\mid a \mid + \mid b\mid + \mid c \mid)^2\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)が成り立つことを示せ。また...

問題 \(0<x<1\)に対して、\(\displaystyle{\frac{1-x^3}{3} > \frac{1-x^2}{2}\sqrt{x}}\)が成り立つことを証明せよ。 方針 \(\sqrt{x}...

問題 \(2\)以上の自然数\(k\)に対して$$f_k(x) = x^k-kx+k-1$$とおく。このとき、次のことを証明せよ。\((1)\) \(n\)次多項式\(g(x)\)が\((x-1)^2\)で割り切れるためには、\(g...

問題 自然数\(n\)と\(n\)項数列\(a_k (1\leq k\leq n)\)が与えられていて、次の条件（イ）、（ロ）を満たしている。（イ）\(a_k (1\leq k\leq n)\)はすべて正整数で、すべて\(1\)と\...

問題 整数\(a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3} (n = 1, 2, 3, \cdots)\)のすべてを割り切る素数を求めよ。 方針 小さい\(n\)で実験してみると、答えはすぐに分かる。 ...

問題 多項式の列\(f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x), \cdots\)を次のように定める。$$\begin{eqnarray} f_1(x) & = & x + 2 \\ f_n...

問題 \(k\)は\(0\)または正の整数とする。方程式\(x^2-y^2 = k\)の解\((a, b)\)で、\(a, b\)がともに奇数であるものを奇数解とよぶ。\((1)\)方程式\(x^2-y^2=k\)が奇数解をもてば、...

問題 \(a\)は正の定数とする。不等式\(a^{x}\geq ax\)がすべての正の数\(x\)に対して成り立つという。このとき\(a\)はどのようなものか。 方針 「文字定数は分離せよ」。 解答 \(a,...

問題 \((1)\) \(a_0 < b_0, a_1 < b_1\)を満たす正の実数\(a_0, b_0, a_1, b_1\)について、次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{{b_1}^2}{{a_0}^2...