math [math]1997年京都大学理系前期問題6
問題
曲線\(y = \cos{x}\)の\(x = t \left(0 < t < \frac{\pi}{2}\right)\)における接線と\(x\)軸、\(y\)軸の囲む三角形の面積を\(S(t)\)とする。\((...
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math math [math]2020年東京工業大学前期数学問題2
問題
複素平面上の異なる\(3\)点\(A, B, C\)を複素数\(\alpha, \beta, \gamma\)で表す。ここで\(A, B, C\)は同一直線上にないと仮定する。\((1)\)\(\triangle{ABC}\)...
math [math]2016年京都大学理系数学問題2
問題
素数\(p, q\)を用いて$$p^q + q^p$$と表される素数をすべて求めよ。
方針
\(p, q\)が両方奇数ならば、\(p^q + q^p\)は偶数になる。
解答
\(p, q\)が\(2\)...
math [math]2015年東京大学理系数学問題4
問題
数列\(p_n\)を次のように定める。$$p_1 = 1, p_2 = 2, p_{n+2} = \frac{{p_{n+1}}^2+1}{p_n}\ (n = 1, 2, 3, \cdots)$$\((1)\) \(\fra...
math [math]2019年東京大学理系数学問題5
問題
以下の問に答えよ。\((1)\) \(n\)を\(1\)以上の整数とする。\(x\)についての方程式$$x^{2n-1} = \cos{x}$$は、ただ一つの実数解\(a_n\)をもつことを示せ。\((2)\) \((1)\)...
math [math]Euler関数の和公式
【定理】正の整数\(n\)に対して、\(n\)と互いに素である\(1\)以上\(n\)以下の整数の個数を\(\phi(n)\)とする。これはEulerのTotient関数と呼ばれ、以下が成り立つ。$$\sum_{d\mid n}{\phi...
math [math]2019年東京大学理系数学問題4
問題
\(n\)を\(1\)以上の整数とする。\((1)\) \(n^2+1\)と\(5n^2+9\)の最大公約数\(d_n\)を求めよ。\((2)\) \((n^2+1)(5n^2+9)\)は整数の二乗にならないことを示せ。
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math [math]2014年東京大学理系数学問題1
問題
\(1\)辺の長さが\(1\)の正方形を底面とする四角柱\(OABC-DEFG\)を考える。\(3\)点\(P, Q, R\)を、それぞれ辺\(AE\)、辺\(BF\)、辺\(CG\)上に、\(4\)点\(O, P, Q, R...
math [math]2021年東京大学理系数学問題4
問題
以下の問いに答えよ。\((1)\) 正の奇数\(K, L\)と正の整数\(A, B\)が\(KA = LB\)を満たしているとする。\(K\)を\(4\)で割った余りが\(L\)を\(4\)で割った余りと等しいならば、\(A\...
math [math]1997年京都大学理系前期数学2
問題
\(n\)が相異なる素数\(p, q\)の積\(n = pq\)であるとき、\(n-1\)個の数\(_n\mathbb{C}_k\ (1\leq k\leq n-1)\)の最大公約数は\(1\)であることを示せ。
方針
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