math [math]2007年京都大学理系数学乙問題6
問題
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数\(f(x)\)が\(f(x) = 0, f^{\prime}(0) = 1\)を満たし、さらに任意の実数\(a, b\)に対して$$1+f(a)f(b)\ne 0$$であって$$f...
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math math [math]2021年東京大学理系数学問題6
問題
定数\(b, c, p, q, r\)に対し、$$x^4 + bx + c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$$が\(x\)についての恒等式であるとする。\((1)\)\(p \ne 0\)であるとき、\(q, r...
math [math]1999年京都大学理系後期問題2
問題
\(\alpha, \beta, \gamma\)は\(\alpha >0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha + \beta+\gamma = \pi\)を満たすものとする。このと...
math [math]1994年東京大学理系数学問題1
問題
$$f(x) = x^4+x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x + \frac{1}{24}$$$$g(x) = x^5+x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^2+\frac...
math [math]2016年京都大学大学院理学研究科数学・数理解析学専攻基礎科目I問題4
問題
次の極限値を求めよ。$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-x}(nx-)dx}}$$ただし、\(n\)は自然数とし、\(\)は\(y\)を超えない最大の整数を表す。
方針
...
math [math]1995年東京大学前期理系数学問題1
問題
すべての正の実数\(x, y\)に対し$$\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq k \sqrt{2 x+y}$$が成り立つような実数\(k\)の最小値を求めよ。
方針
微分でもコーシー・シュワルツの不等式で...
math [math]1998年東京大学前期理系数学問題4
問題
実数\(a\)に対して\(k \leq a \leq k+1\)を満たす整数\(k\)を\(\)で表す。\(n\)を正の整数として、$$f(x)= \frac{x^2 (2\cdot 3^3 \cdot n-x)}{2^5\c...
math [math]2000年京都大学前期理系数学問題4
問題
\(p\)を素数、\(a, b\)を互いに素な正の整数とするとき、\({(a+bi)}^p\)は実数ではないことを示せ。ただし\(i\)は虚数単位を表す。(\(30\)点)
方針
とりあえず展開する。\(p=2\)...
math [math]2001年度京都大学前期数学理系問題6
問題
次の極限値を求めよ。
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n \pi} e^{-x}|\sin n x| d x$$ (\(35\)点)
方針
定石があるので、それ...
math [math]2021年京都大学大学院理学研究科 数学・数理解析専門 基礎科目
問題
次の積分を計算せよ。$$\iiint_{D} x y z d x d y d z$$ただし、\(D=\{(x, y, z)\in \mathbb{R} |x^2+y^2+z^2 \leq 1, x \geq 0, y \geq...