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問題 すべての正の実数$x,y$に対し$$\sqrt{x}+\sqrt{y}\le k\sqrt{2x+y}$$が成り立つような実数$k$の最小値を求めよ。 方針 微分でもコーシー・シュワルツの不等式で...

問題 実数$a$に対して$k\le a\le k+1$を満たす整数$k$を$$で表す。$n$を正の整数として、$$f(x)= \frac{x^2 (2\cdot 3^3 \cdot n-x)}{2^5\c...

問題 $p$を素数、$a,b$を互いに素な正の整数とするとき、${(a+bi)}^p$は実数ではないことを示せ。ただし$i$は虚数単位を表す。($30$点) 方針 とりあえず展開する。$p=2$...

問題 次の極限値を求めよ。 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{n\pi }{e}^{-x}|\sin nx|dx$$ ($35$点) 方針 定石があるので、それ...

問題 次の積分を計算せよ。$${\iiint }_{D}xyzdxdydz$$ただし、\(D=\{(x, y, z)\in \mathbb{R} |x^2+y^2+z^2 \leq 1, x \geq 0, y \geq...

問題 問1 $xyz$空間の$3$点$A(1,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,2)$を通る平面$\alpha$に関して点$P(1,1,1)$と対称な点\(...