de novo

問題 \(f(x) = x^2 + 4n\cos{x} + 1-4n\ (n = 1, 2, 3, \cdots)\)を考える。\((1)\) \(\displaystyle f(x) = 0, 0 < x < \fra...

問題 \(x \geq 1\)で定義されている関数\(f(x)\)は連続な導関数\(f^{\prime}(x)\)をもち、次の条件を満たしている。$$f(1) \leq f^{\prime}(x)\leq \frac{f(x)}{x...

問題 \(i\)を虚数単位とし\(\displaystyle a = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}\)とおく。また\(n\)はすべての自然数にわたって動くとする。このとき\((...

問題 \((1)\) 正の整数\(n\)に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb...

問題 次の連立方程式\((*)\)を考える。$$(*)\begin{cases}y = 2x^2-1 \\ z = 2y^2-1\\ x = 2z^2-1 \end{cases}$$\((1)\) \((x, y, z) = (a,...

問題 曲線\(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(P\)における接線は\(x\)軸と交わるとし、その交点を\(Q\)とおく。線分\(PQ\)の長さを\(L\)とするとき、\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ。 ...

問題 整数を係数とする\(3\)次の多項式\(f(x)\)が次の条件\((*)\)を満たしている。\((*)\) 任意の自然数\(n\)に対し\(f(n)\)は\(n(n+1)(n+2)\)で割り切れる。このとき、ある整数\(a\)...

問題 \(0\)または整数の値をとる変数\(X, Y\)がある。\(X\)が整数\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率と、\(Y\)が\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率はともに\(p_n\)であるとする（ここで\(\...

問題 \(xy\)平面上の楕円$$E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$について、以下の問いに答えよ。\((1)\) \(a,\ b\)を実数とする。直線\(l:\ y = ax + b\)と楕円\(E\)が異なる...