math [math][東京大学][微分・積分]2023年東京大学理系数学問題1
問題
\((1)\) 正の整数\(k\)に対し、$$A_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}{|\sin{(x^2)}|dx}$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{1...
はさみうちの原理
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math [math]2000年度東京工業大学前期数学問題4
問題
\(n\)は\(2\)以上の自然数とする。関数\(y = e^{x}\cdots\cdots\text{（ア）}, y = e^{nx}-1\cdots\cdots\text{（イ）}\)について以下の問に答えよ。\((1)\...
math [math]1997年東京工業大学理系前期数学問題2
問題
\((1)\) 極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=n}^{2n}{\frac{1}{k}}}\)を求めよ。\((2)\) 任意の正数\(a\)に対して、\(\displa...
math [math]2012年東京医科歯科大学前期数学問題3
問題
関数\(f(x) = x^3-x^2+x\)について、以下の各問に答えよ。\((1)\) \(f(x)\)はつねに増加する関数であることを示せ。\((2)\) \(f(x)\)の逆関数を\(g(x)\)とおく。\(x > 0\...
math [math]1992年東京医科歯科大学前期数学問題1
問題
\((1)\) \(a > 0, b\geq 0\)のとき、次の値の大小関係を調べよ。$$\int_{b}^{b+1}{\frac{dx}{\sqrt{x+a}}}, \frac{1}{\sqrt{a+b}}, \frac{1...
math [math]1972年東京医科歯科大学数学問題
問題
\(\displaystyle x_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}{\theta}d\theta}\ (n = 0, 1, 2, \cdots)\)のとき、次の問に答えよ。\((1)...
math [math]2018年東京工業大学数学問題3
問題
方程式$$e^x(1-\sin{x}) = 1$$について、次の問に答えよ。\((1)\) この方程式は負の実数解をもたないことを示せ。また、正の実数解を無限個もつことを示せ。\((2)\) この方程式の正の実数解を小さい順か...
math [math]1976年京都大学理系数学問題4
問題
正の数列\(\{a_n\}\ (n=1, 2, 3, \cdots)\)が不等式$${a_n}^3+3{a_n}^2-\left(9+\frac{1}{n}\right)a_n+5 < 0$$をみたしているとき、次の\(...
math [math]1990年東京大学理系前期数学問題1
問題
\(\displaystyle{a_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}, b_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{2k+1}}}}\)とするとき、\(\...
math [math]1988年東京工業大学数学問題1
問題
数列\(\{a_n\}\)を\(a_1 = 1, a_n = 1 + \frac{1}{n^2}{a_{n-1}}^2\)で定める。このとき、\(\lim_{n\to\infty}{a_n}\)を求めよ。
方針
一...