京都大学

問題 \(n\)個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を\(p_n\)とする。次の問いに答えよ。\((1)\) \(...

問題 \(|x| \leq 2\)を満たす複素数\(x\)と、\(|y-(8+6i)| = 3\)を満たす複素数\(y\)に対して、\(\displaystyle z = \frac{x+y}{2}\)とする。このような複素数\(z...

問題 自然数\(k\)に対して、\(a_k = 2^{\sqrt{k}}\)とする。\(n\)を自然数とし、\(a_k\)の整数部分が\(n\)桁であるような\(k\)の個数を\(N_n\)とする。また、\(a_k\)の整数部分が\...

問題 座標空間の\(4\)店\(O, A, B, C\)は同一平面上にないとする。線分\(OA\)の中点を\(P\)、線分\(AB\)の中点を\(Q\)とする。実数\(x, y\)に対して、直線\(OC\)上の点\(X\)と、直線\...

問題 \(a\)は\(a\geq 1\)を満たす定数とする。座標平面上で、次の\(4\)つの不等式が表す領域を\(D_a\)とする。$$x\geq0,\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\leq y,\ y\leq \f...

問題 \(t\)を実数とする。投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ\(\displaystyle \frac{1}{2}\)であるコインを\(10\)回投げて、座標空間の点\(P_0, P_1, P_2, \cdots, P_{10...

問題 座標平面上の円\(D_1: x^2+y^2 = 64\)と円\(D_2: x^2+(y-4)^2 = 9\)に関して、以下の設問に答えよ。\((1)\) 座標平面上の\(3\)点\((0, 8), (3\sqrt{7}, 1)...

問題 \(2\)以上の自然数\(n\)に対して、\(n\)を割り切る素数の個数を\(f(n)\)とする。例えば\(n = 120\)のとき、\(120\)を割り切る素数は\(2\)と\(3\)と\(5\)なので、\(f(120) =...

問題 \(x^{100}-3x^{10}-2x-1 = 0\)を満たす実数\(x\)の個数を求めよ。 方針 \(-1<x<1\)のときは\(x^{100}\)はとても小さいので、無視できる。 解答 ...