京都大学

問題 \(n\)は\(2\)以上の整数とする。\(1\)枚の硬貨を続けて\(n\)回投げる。このとき、\(k\)回目\((1\leq k\leq n)\)に表が出たら\(X_k = 1\)、裏が出たら\(X_k = 0\)として、\...

問題 \(\theta\)は実数とする。\(xyz\)空間の\(2\)点\(\displaystyle A\left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}\right), P\left(\cos{\theta}, \si...

問題 座標空間の\(4\)点\(O, A, B, C\)は同一平面上にいないとする。\(s, t, u\)は\(0\)ではない実数とする。直線\(OA\)上の点\(L\)、直線\(OB\)上の点\(M\)、直線\(OC\)上の点\(...

問題 \(e\)は自然対数の底とする。\(\displaystyle x > \frac{1}{\sqrt{e}}\)において定義された次の関数\(f(x), g(x)\)を考える。$$\begin{eqnarray}f(x)...

問題 （35点）正の整数\(x, y, z\)を用いて$$N = 9z^2=x^6+y^4$$と表される正の整数\(N\)の最小値を求めよ。 方針 \(3\)で割った余りを考える。 解答 \(x\)か\(y\...

問題 次の各問に答えよ。（35点）問1 \(i\)は虚数単位とする。複素数\(z\)が、絶対値が\(2\)である複素数全体を動くとき、\(\displaystyle \left|z-\frac{i}{z}\right|\)の最大値と...

問題 座標平面における領域$$A = \{(x, y) | y\geq e^x\}$$で定まる図形\(A\)を考える。\(A\)に対して、原点を中心とする回転や平行移動を何回か行って得られる図形を\(n\)個用意し、それぞれ\(A_...

問題 \(n\)を\(5\)以上の自然数とする。\(\text{K, O, T, Y}\)が\(1\)文字ずつ書かれた\(4\)枚のカード$$\fbox{K}, \fbox{O}, \fbox{T}, \fbox{Y}$$を用意する...

問題 \(n\)を自然数とする。実数\(x\)に対し、\(x\)を超えない最大の整数を\(\)とし、\(f(x) = x-\)と定める。このとき、\(1\)よりも大きく、かつ整数ではないような実数\(x\)のうちで、$$\lim_{...

問題 \(n\)個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を\(p_n\)とする。次の問いに答えよ。\((1)\) \(...