京都大学

問題 三角形$ABC$は鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが$ABC$と合同な四面体が存在することを示せ。 方針 よく知られた方法として下のように直方体の中に四面体を埋め込む方法がある。ここでは座標空間を...

問題 正の数列$\{a_n\}(n=1,2,3,\cdots )$が不等式$${a_n}^3+3{a_n}^2-(9+\frac{1}{n})a_n+5<0$$をみたしているとき、次の\(...

問題 数列$\{c_n\}$を次の式で定める。$$c_n=(n+1){\int }_0^1{x}^n\cos \pi xdx(n=1,2,,\cdots )$$このとき、$(1)$ $c_n$と\(c_{...

問題 $n$を自然数とし、${\displaystyle I_n={\int }_1^e(\log x{)}^{n}dx}$とおく。$(1)$ $I_{n+1}$を$I_n$を用いて表わせ。$(2)$ すべて...

問題 $H>0,R>0$とする。空間内において、原点$O$と点$P(R,0,H)$を結ぶ線分を、$z$軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが$h$のと...

問題 数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項までの和を$S_n$と表す。この数列が、$$a_1=0,a_2=1,(n-1{)}^2{a}_n=S_n(n\ge 1)$$を満たすとき、一般項...

問題 $0$でない$x$の整式$f(x)$に対し、${\displaystyle F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,G(x)={\int }_x^{1}f(t)dt}$とおく。ある定数\(p...

問題 次の連立方程式$(\ast )$を考える。$$(\ast )\{\begin{array}{l}y=2x^2-1\\ z=2y^2-1\\ x=2z^2-1\end{array}$$$(1)$ \((x, y, z) = (a,...

問題 曲線$y=\frac{1}{2}(x^2+1)$上の点$P$における接線は$x$軸と交わるとし、その交点を$Q$とおく。線分$PQ$の長さを$L$とするとき、$L$が取りうる値の最小値を求めよ。 ...

問題 整数を係数とする$3$次の多項式$f(x)$が次の条件$(\ast )$を満たしている。$(\ast )$ 任意の自然数$n$に対し$f(n)$は$n(n+1)(n+2)$で割り切れる。このとき、ある整数$a$...