京都大学

問題 \(a\)は正の定数とする。不等式\(a^{x}\geq ax\)がすべての正の数\(x\)に対して成り立つという。このとき\(a\)はどのようなものか。 方針 「文字定数は分離せよ」。 解答 \(a,...

問題 \((1)\) \(a_0 < b_0, a_1 < b_1\)を満たす正の実数\(a_0, b_0, a_1, b_1\)について、次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{{b_1}^2}{{a_0}^2...

問題 \(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...

問題 \(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\...

問題 実数または複素数の\(x, y, z, a\)について、\(x+y+z = a, x^3+y^3+z^3 = a^3\)の二式が成立するとき、\(x, y, z\)のうち少なくとも1つは\(a\)に等しいことを示せ。 方...

問題 \(1\)次式\(A(x), B(x), C(x)\)に対して\(\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2 = \{C(x)\}^2\)が成り立つとする。このとき\(A(x)\)は\(B(x)\)とともに\(C(x)\)の定...

問題 \(Q(x)\)を\(2\)次式とする。整式\(P(x)\)は\(Q(x)\)で割り切れないが、\(\{P(x)\}^2\)は\(Q(x)\)で割り切れるという。このとき\(2\)次方程式\(Q(x) = 0\)は重解をもつこ...

問題 \(a, b, c\)を正の数とするとき、不等式$$2\left(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)\leq 3\left(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt{abc}\right)$$を証明...

問題 \(\alpha, \beta\)は複素数で、\(\alpha\)の絶対値は\(1\)とする。このとき\(z + \alpha\bar{z} +\beta =0\)を満足する複素数\(z\)があるための必要十分条件は\(\al...