math [math]1975年京都大学文系数学問題6 問題 \(a\)が実数で\(a<1\)のとき、数列\(x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots, \)を\(\displaystyle{x_0 = a, x_n = \frac{1}{2-x_{n-... 2021.12.20 math
math [math]1989年京都大学理系数学問題2 問題 \(n\)個\((n\geq 3)\)の実数\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)があり、各\(a_i\)は他の\(n-1\)個の相加平均より大きくはないという。このような\(a_1, a_2, \cdots, a... 2021.12.19 math
math [math]1989年京都大学理系後期数学理学部専用問題 問題 \(2\)次方程式\(ax^2-bx+3c=0\)において、\(a, b, c\)は\(1\)桁の自然数であり、二つの解\(\alpha, \beta\)は\(1<\alpha<2, 5<\beta<6... 2021.12.19 math
math [math]2000年京都大学後期理系数学問題3 問題 \(x, y\)平面上の点で\(x\)座標、\(y\)座標がともに整数である点を格子点という。\(a, k\)は整数で\(a\geq 2\)とし、直線\(L: ax + (a^2+1)y = k\)を考える。\((1)\) 直... 2021.12.17 math
math [math]1994年京都大学後期数学文理共通問題1 問題 \(a+b+c = 0\)を満たす実数\(a, b, c\)について、\((\mid a \mid + \mid b\mid + \mid c \mid)^2\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)が成り立つことを示せ。また... 2021.12.16 math
math [math]1988年京都大学文系B日程問題1 問題 \(0<x<1\)に対して、\(\displaystyle{\frac{1-x^3}{3} > \frac{1-x^2}{2}\sqrt{x}}\)が成り立つことを証明せよ。 方針 \(\sqrt{x}... 2021.12.15 math
math [math]1997年京都大学後期数学過去問問題2 問題 自然数\(n\)と\(n\)項数列\(a_k (1\leq k\leq n)\)が与えられていて、次の条件(イ)、(ロ)を満たしている。(イ)\(a_k (1\leq k\leq n)\)はすべて正整数で、すべて\(1\)と\... 2021.12.14 math
math [math]1992年京都大学後期文系問題1 問題 \(k\)は\(0\)または正の整数とする。方程式\(x^2-y^2 = k\)の解\((a, b)\)で、\(a, b\)がともに奇数であるものを奇数解とよぶ。\((1)\)方程式\(x^2-y^2=k\)が奇数解をもてば、... 2021.12.10 math
math [math]1993年京都大学後期理系数学問題3 問題 \(a\)は正の定数とする。不等式\(a^{x}\geq ax\)がすべての正の数\(x\)に対して成り立つという。このとき\(a\)はどのようなものか。 方針 「文字定数は分離せよ」。 解答 \(a,... 2021.12.10 math
math [math]1999年前期京都大学理系数学問題3 問題 \((1)\) \(a_0 < b_0, a_1 < b_1\)を満たす正の実数\(a_0, b_0, a_1, b_1\)について、次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{{b_1}^2}{{a_0}^2... 2021.12.10 math