math [math]1977年京都大学数学文系問題5
問題
\(p\)が素数であれば、どんな自然数\(n\)についても、\(n^p-n\)は\(p\)で割り切れる。このことを、\(n\)についての数学的帰納法で証明せよ。
方針
丁寧に解法まで指定してくれているので、素直に従...
京都大学
math math [math]1996年京都大学理系後期数学問題1
問題
\(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...
math [math]1995年京都大学理系後期数学問題3
問題
\(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\...
math [math]1972年京都大学文理共通文系問題2理系問題3
問題
実数または複素数の\(x, y, z, a\)について、\(x+y+z = a, x^3+y^3+z^3 = a^3\)の二式が成立するとき、\(x, y, z\)のうち少なくとも1つは\(a\)に等しいことを示せ。
方...
math [math]2006年度京都大学文理共通問題文系3理系1
問題
\(1\)次式\(A(x), B(x), C(x)\)に対して\(\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2 = \{C(x)\}^2\)が成り立つとする。このとき\(A(x)\)は\(B(x)\)とともに\(C(x)\)の定...
math [math]2006年度前期京都大学文理共通問題文系3理系1
問題
\(Q(x)\)を\(2\)次式とする。整式\(P(x)\)は\(Q(x)\)で割り切れないが、\(\{P(x)\}^2\)は\(Q(x)\)で割り切れるという。このとき\(2\)次方程式\(Q(x) = 0\)は重解をもつこ...
math [math]1978年京都大学文理共通数学問題1
問題
\(a, b, c\)を正の数とするとき、不等式$$2\left(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)\leq 3\left(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt{abc}\right)$$を証明...
math [math]1971年京都大学理系数学問題2
問題
\(\alpha, \beta\)は複素数で、\(\alpha\)の絶対値は\(1\)とする。このとき\(z + \alpha\bar{z} +\beta =0\)を満足する複素数\(z\)があるための必要十分条件は\(\al...
math [math]1998年後期京都大学理系数学問題1
問題
\(2\)次の正方行列\(X, Y\)は\(XY = Y X\)のとき交換可能であるという。\(2\)次の正方行列\(A\)と\(B\)は交換可能ではないが、\(A\)と\(AB\)は交換可能であり、\(A\)と\(BA\)を...
math [math]2003年京都大学理系後期数学問題4
問題
\(\{a_n\}\)を正の数からなる数列とし、\(p\)を正の実数とする。このとき$$a_{n+1} > \frac{1}{2}a_n-p$$をみたす番号\(n\)が存在することを証明せよ。
方針
漸化式を...