math [math]1997年京都大学理系前期数学2
問題
\(n\)が相異なる素数\(p, q\)の積\(n = pq\)であるとき、\(n-1\)個の数\(_n\mathbb{C}_k\ (1\leq k\leq n-1)\)の最大公約数は\(1\)であることを示せ。
方針
...
京都大学
math math [math]2005年京都大学理系後期数学問題6
問題
\(n\)枚の\(100\)円玉と\(n+1\)枚の\(500\)円玉を同時に投げたとき、表の出た\(100\)円玉の枚数より表の出た\(500\)円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。
方針
\(1\)枚余分なので、...
math [math]2006年京都大学理系後期数学問題6
問題
\(\tan{1^\circ}\)は有理数か。
方針
背理法を用いる。
解答
有理数であると仮定して、\(\tan{1^\circ}=\alpha\)と置く。$$\tan{(1+1)^\circ}=\f...
math [math]2020年度京都大学理系問題2
問題
\(p\)を正の整数とする。\(\alpha,\ \beta\)は\(x\)に関する方程式\(x^2-2px-1=0\)の\(2\)つの解で、\(|\alpha| > 1\)であるとする。\((1)\)すべての正の整数\(n\...
math [math]平成23年度京都大学大学院理学研究科（数学・数理解析学専攻） 数学系入試試験問題 基礎数学第1問
問題
\(x\)を複素数とする。\(4\)次複素正則行列$$\begin{equation}\left(\begin{array}{cccc}x & 1 & -1 & 1 \\1 & x & ...
math [math]2007年京都大学理系数学乙問題6
問題
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数\(f(x)\)が\(f(x) = 0, f^{\prime}(0) = 1\)を満たし、さらに任意の実数\(a, b\)に対して$$1+f(a)f(b)\ne 0$$であって$$f...
math [math]1999年京都大学理系後期問題2
問題
\(\alpha, \beta, \gamma\)は\(\alpha >0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha + \beta+\gamma = \pi\)を満たすものとする。このと...
math [math]2016年京都大学大学院理学研究科数学・数理解析学専攻基礎科目I問題4
問題
次の極限値を求めよ。$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-x}(nx-)dx}}$$ただし、\(n\)は自然数とし、\(\)は\(y\)を超えない最大の整数を表す。
方針
...
math [math]2000年京都大学前期理系数学問題4
問題
\(p\)を素数、\(a, b\)を互いに素な正の整数とするとき、\({(a+bi)}^p\)は実数ではないことを示せ。ただし\(i\)は虚数単位を表す。(\(30\)点)
方針
とりあえず展開する。\(p=2\)...
math [math]2001年度京都大学前期数学理系問題6
問題
次の極限値を求めよ。
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n \pi} e^{-x}|\sin n x| d x$$ (\(35\)点)
方針
定石があるので、それ...