京都大学

問題 \(x^{100}-3x^{10}-2x-1 = 0\)を満たす実数\(x\)の個数を求めよ。 方針 \(-1<x<1\)のときは\(x^{100}\)はとても小さいので、無視できる。 解答 ...

問題 空間内の\(4\)点\(O, A, B, C\)は同一平面上にないとする。点\(D, P, Q\)を次のように定める。点\(D\)は\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 2...

問題 \(O\)を原点とする\(xyz\)空間において、点\(P\)と点\(Q\)は次の\(3\)つの条件\((a), (b), (c)\)を満たしている。\((a)\) 点\(P\)は\(x\)軸上にある。\((b)\) 点\(Q...

問題 \(n\)を自然数とする。\(1\)個のさいころを\(n\)回投げ、出た目を順に\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)とし、\(n\)個の数の積\(X_1X_2\cdots X_n\)を\(Y\)とする。\((1)...

問題 \(p\)を\(3\)以上の素数とする。また、\(\theta\)を実数とする。\((1)\) \(\cos{3\theta}\)と\(\cos{4\theta}\)を\(\cos{\theta}\)の式として表わせ。\((2...

問題 次の関数\(f(x)\)の最大値と最小値を求めよ。$$f(x) = e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}\ \ \ (-1\leq x\le...

問題 次の各問に答えよ。（\(35\)点）問\(1\ \ \) 定積分\(\displaystyle \int_{1}^{4}{\sqrt{x}\log{(x^2)}dx}\)の値を求めよ。問\(2\ \ \) 整式\(x^{202...

問題 \(\mathbb{R}\)の部分集合\(D\)を$$D = \left\{(x, y, z)\in \mathbb{R}\middle| \frac{1}{4}\leq x^2+y^2-2yz+4z^2\leq 1\righ...

問題 三角形\(ABC\)と点\(P\)に対して、次の\(2\)つの条件は同値であることを証明せよ。\((i)\) 点\(P\)は三角形\(ABC\)の内部（周は除く）にある。\((ii)\) 正の数\(a, b, c\)があって、...

問題 正三角形\(ABC\)の辺\(AB\)上に点\(P_1, P_2\)が、辺\(BC\)上に点\(Q_1, Q_2\)が、辺\(CA\)上に点\(R_1, R_2\)があり、どの点も頂点に一致していないとする。このとき三角形\(...