京都大学

問題 空間において、平面\(\alpha\)に含まれる凸四角形\(ABCD\)と\(\alpha\)に含まれない点\(P\)を考える。三角形\(PAB, PBC, PCD, PDA\)の重心をそれぞれ\(E, F, G, H\)とす...

問題 三角形\(ABC\)の外心\(O\)から直線\(BC, CA, AB\)に下ろした垂線の足をそれぞれ\(P, Q, R\)とするとき、\(\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OQ} +...

問題 \(3\)組の対辺が互いに垂直であるような四面体\(V\)がある。このとき、\(V\)の各辺の中点は、\(V\)の垂心を中心とするある\(1\)つの球面上にあることを示せ。 方針 ベクトルの威力が発揮される。 ...

問題 原点\(O\)を中心とする単位円周上に相異なる点\(P_1, P_2, P_3, P_4\)があって$$\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow...

問題 空間に原点を始点とする長さ\(1\)のベクトル\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\)がある。\(\overrightarrow{a}, \o...

問題 四面体\(OABC\)において\(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\)は互いに直交している。\(\displaystyle \overr...

問題 三角形\(ABC\)において、辺\(AB, BC, CA\)をそれぞれ\(2: 1\)に内分する点を\(A_1, B_1, C_1\)とし、また線分\(A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1\)をそれぞれ\(2:1\)に...

問題 同一平面上に\(2\)つの三角形\(ABC, A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\)があり、それぞれの外接円の半径は共に\(1\)であるとする。この\(2\)つの外接円の中心を結ぶ線分の中点を\(M\...

問題 実数\(p, q \ (q > 0)\)に対して、下の\(2\)条件\((i), (ii)\)を満たす三角形\(ABC\)が存在するための必要十分条件を求めよ。\((i)\) \(|\overrightarrow{BC}| =...

問題 \(3\)つのベクトル\(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\)は互いに直交している。点\(O\)より直線\(BC, CA, AB\)に垂...