京都大学

問題 四面体\(OABC\)が$$OA = 4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt{3}$$を満たしているとする。\(P\)を辺\(BC\)上の点とし、\(\triangle{OAP}\)の重心を\(G\)とする。こ...

問題 \(n\)を自然数とする。\(3\)つの整数\(n^2+2, n^4+2, n^6+2\)の最大公約数\(A_n\)を求めよ。 方針 \(n^6\)は急速に大きくなるので、実験もしにくい。Euclidの互除法を用い...

問題 曲線\(\displaystyle C: y = \cos^3{x} \ \ \left(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\right)\)、\(x\)軸および\(y\)軸で囲まれる図形の面積を\(S\)とす...

問題 \(5.4<\log_{4}{2022} < 5.5\)であることを示せ。ただし、\(0.301<\log_{10}{2}<0.3011\)であることは用いてもよい。 方針 近年の京都大学の...

問題 \((1)\) \(f(x)\)は\(a\leq x\leq b\)で連続な関数とする。このとき、$$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}=f(c)\\ a\leq c\leq b$$となる\(c...

問題 以下の問に答えよ。ただし、\(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\)が無理数であることは使ってよい。\((1)\) 有理数\(p, q, r\)について、\(p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3} =...

問題 \(A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ -1 & -1\end{pmatrix}, E = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix...

問題 さいころを\(n\)回続けて投げるとき、\(k\)回目に出る目の数を\(X_k\)とし、\(Y_n = X_1+X_2+\cdots + X_n\)とする。\(Y_n\)が\(7\)で割り切れる確率を\(p_n\)とする。\(...

問題 媒介変数表示された曲線\(\displaystyle C: x = e^{-t}\cos{t}, y = e^{-t}\sin{t}\ \left(0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\right)\)を考える。...

問題 実数\(r(r>0)\)に対して、下の方程式\(\text{①}\)の定める球面と、\(\text{②}\)の定める平面の共通部分を\(D\)とする。$$\text{①}x^2+y^2+z^2=\frac{1}{3}(r^2+...