京都大学

問題 \(f(x)\)は\(x\)に関する\(n\)次の整式（多項式）とする（\(n\geq 0\)）。\((1)\) \(2\)変数\(x, y\)の整式として$$f(x+y) = P_0(x) + P_1(x)y+P_2(x)y...

問題 空間の\(1\)点\(O\)と通る\(4\)直線で、どの\(3\)直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、\(4\)直線のいずれとも\(O\)以外の点で交わる平面で、\(4\)つの交点が平行四辺形の頂点になるような...

問題 三角形\({ABC}\)は鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが\(ABC\)と合同な四面体が存在することを示せ。 方針 よく知られた方法として下のように直方体の中に四面体を埋め込む方法がある。ここでは座標空間を...

問題 正の数列\(\{a_n\}\ (n=1, 2, 3, \cdots)\)が不等式$${a_n}^3+3{a_n}^2-\left(9+\frac{1}{n}\right)a_n+5 < 0$$をみたしているとき、次の\(...

問題 数列\(\{c_n\}\)を次の式で定める。$$c_n = (n+1)\int_{0}^{1}{x^n\cos{\pi x}dx}\ (n=1, 2, , \cdots)$$このとき、\((1)\) \(c_n\)と\(c_{...

問題 \(n\)を自然数とし、\(\displaystyle I_n = \int_{1}^{e}{(\log{x})^ndx}\)とおく。\((1)\) \(I_{n+1}\)を\(I_n\)を用いて表わせ。\((2)\) すべて...

問題 \(H > 0, R > 0\)とする。空間内において、原点\(O\)と点\(P(R, 0, H)\)を結ぶ線分を、\(z\)軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが\(h\)のと...

問題 数列\(\{a_n\}\)の初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)と表す。この数列が、$$a_1 = 0, a_2 = 1, (n-1)^2a_n = S_n\ (n\geq 1)$$を満たすとき、一般項...

問題 \(0\)でない\(x\)の整式\(f(x)\)に対し、\(\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x}{f(t)dt}, G(x) = \int_{x}^{1}{f(t)dt}\)とおく。ある定数\(p...

問題 次の連立方程式\((*)\)を考える。$$(*)\begin{cases}y = 2x^2-1 \\ z = 2y^2-1\\ x = 2z^2-1 \end{cases}$$\((1)\) \((x, y, z) = (a,...