math [math]1993年京都大学後期理系数学問題3
問題
\(a\)は正の定数とする。不等式\(a^{x}\geq ax\)がすべての正の数\(x\)に対して成り立つという。このとき\(a\)はどのようなものか。
方針
「文字定数は分離せよ」。
解答
\(a,...
後期
math math [math]1996年京都大学理系後期数学問題1
問題
\(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...
math [math]1998年後期京都大学理系数学問題1
問題
\(2\)次の正方行列\(X, Y\)は\(XY = Y X\)のとき交換可能であるという。\(2\)次の正方行列\(A\)と\(B\)は交換可能ではないが、\(A\)と\(AB\)は交換可能であり、\(A\)と\(BA\)を...
math [math]1999年京都大学理系後期数学問題3
問題
\(\alpha\)を正の定数として、数列\(a_n, b_n (n\geq 1)\)を次の式で定める。$$2a_{n+1} = \alpha(3{a_n}^2 + 2a_nb_n-{b_n}^2-a_n+b_n)$$ $$2...
math [math]2005年京都大学理系後期数学問題6
問題
\(n\)枚の\(100\)円玉と\(n+1\)枚の\(500\)円玉を同時に投げたとき、表の出た\(100\)円玉の枚数より表の出た\(500\)円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。
方針
\(1\)枚余分なので、...
math [math]2006年京都大学理系後期数学問題6
問題
\(\tan{1^\circ}\)は有理数か。
方針
背理法を用いる。
解答
有理数であると仮定して、\(\tan{1^\circ}=\alpha\)と置く。$$\tan{(1+1)^\circ}=\f...
math [math]1999年京都大学理系後期問題2
問題
\(\alpha, \beta, \gamma\)は\(\alpha >0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha + \beta+\gamma = \pi\)を満たすものとする。このと...