微分

問題 次の関数\(f(x)\)を考える。$$f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{|t-x|}{1+t^2}dt}\ (0\leq x\leq 1)$$\((1)\) \(\displaystyle 0 < \a...

問題 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数\(f(t), g(t)\)が次の\(6\)つの条件を満たしているとする。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t) = -f(t)g(t),\ g^{\prime}(t...

問題 \(x^{100}-3x^{10}-2x-1 = 0\)を満たす実数\(x\)の個数を求めよ。 方針 \(-1<x<1\)のときは\(x^{100}\)はとても小さいので、無視できる。 解答 ...

問題 関数$$f(x)= \frac{x}{x^2+3}$$に対して、\(y = f(x)\)のグラフを\(C\)とする。点\(A(1, f(1))\)における\(C\)の接線を$$l: y = g(x)$$とする。\((1)\) ...

問題 \(\alpha\)を正の実数とする。\(0\leq \theta \leq \pi\)における\(\theta\)の関数\(f(\theta)\)を、座標平面上の\(2\)点\(A(-\alpha, -3), P(\thet...

問題 実数\(\displaystyle \int_{0}^{2023}{\frac{2}{x+e^x}dx}\)の整数部分を求めよ。 方針 まず\(0\leq x\leq 2023\)で\(\displaystyle ...

問題 次の関数\(f(x)\)の最大値と最小値を求めよ。$$f(x) = e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}\ \ \ (-1\leq x\le...

問題 \(a, b\)を正の実数、\(p\)を\(a\)より小さい正の実数とし、すべての実数\(x\)について$$\int_{p}^{f(x)}{\frac{a}{u(a-u)}du} = bx\ \ 0<f(x)<a$...

問題 整式\(f(x) = (x-1)^2(x-2)\)を考える。\((1)\) \(g(x)\)を実数を係数とする整式とし、\(g(x)\)を\(f(x)\)で割った余りを\(r(x)\)とおく。\({g(x)}^7\)を\(f(...

問題 \((1)\) 正の整数\(k\)に対し、$$A_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}{|\sin{(x^2)}|dx}$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{1...