微分

問題 \(\displaystyle a = \frac{2^8}{3^4}\)として、数列$$b_k = \frac{(k+1)^{k+1}}{a^k k!}\ \ (k = 1, 2, 3, \cdots)$$を考える。\((1...

問題 \((1)\) \(f(x) = x, h(x) = x^2\sin{x}\)とするとき、次の条件\((a), (b)\)を満たす関数\(g(x)\)を求めよ。\(\ \ (a)\) \(\displaystyle g\lef...

問題 \(xy\)平面上で曲線\(y = be^{ax}\)と直線\(y = bx+a\)とが接しているとき、次の問いに答えよ。ただし、\(ab\ne 0\)とする。\((1)\) \(b\)を\(a\)の関数として表わせ。\((2...

問題 \((1)\) 連続関数\(f(x)\)と定数\(a, b, c, d\)に対し$$F(t) = \int_{at+b}^{ct+d}{f(x)dx}$$によって定義される関数\(F(t)\)の導関数\(F^{\prime}(...

問題 \(xy\)平面上で次の直線\(l\)と曲線\(C\)を考える。$$\begin{eqnarray}l & : & y = ax+b\\ C & : & y = b\log{x}+ab\end{...

問題 多項式の列\(f_0(x), f_1(x), \cdots, f_n(x), \cdots\)を次のように定める。$$f_0(x) = 1, f_n(x) = x(f_{n-1}(x)+\frac{d}{dx}f_{n-1}(...

問題 次の問いに答えよ。ただし\(i\)は虚数単位とする。\((1)\) \(2\)次方程式\(x^2+(3+2i)x+1+ki = 0\)が少なくとも\(1\)個の実数解をもつような実数\(k\)の値を求めよ。\((2)\) \(...

問題 \(x \geq 0\)を定義域とする関数の列$$f_0(x), f_1(x), \cdots, f_n(x), \cdots$$を次式による帰納的に定義する。$$f_0(x) = 1, f_n(x) = \int_{0}^{...

問題 関数\(f(x) = \log{(x+\sqrt{x^2-1})}\ \ (x\geq 1)\)およびその逆関数\(g(x)\ \ (x\geq 0)\)のグラフをそれぞれ\(C_1, C_2\)とする。\((1)\) \(C...

問題 正の整数\(n\)に対し、関数\(f_n(x)\)を次式で定義する。$$f_n(x) = \int_{1}^{x}{(x-t)^ne^{t}dt}$$（\(e\)は自然対数の底）。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\) ...