微分

問題 正の整数\(n\)に対し、関数\(f_n(x)\)を次式で定義する。$$f_n(x) = \int_{1}^{x}{(x-t)^ne^{t}dt}$$（\(e\)は自然対数の底）。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\) ...

問題 次の各問いに答えよ。\((1)\) 関数\(g(x) = \log{(x+\sqrt{x^2+1})}\)の導関数\(g^{\prime}(x)\)を求めよ。\((2)\) 次の\(2\)条件\((a), (b)\)を満たす微...

問題 関数\(f(x) = x-\log{(1+x)}\)について、以下の各問いに答えよ。ここで\(\log\)は自然対数を表す。また\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}{\frac{\log{x}}...

問題 実数\(a, b\)に対し、\(f(x) = x^3-3ax+b\)とおく。\(-1\leq x\leq 1\)における\(|f(x)|\)の最大値を\(M\)とする。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\) \(a &g...

問題 \(a\)を正の実数、\(k\)を自然数とし、\(x > 0\)で定義される関数$$f(x) = \int_{a}^{ax}{\frac{k+\sqrt{u}}{ku}du}$$を考える。このとき以下の各問いに答えよ。\((1...

問題 \(m, n\)を自然数として、関数\(f(x) = x^m(1-x)^n\)を考える。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\) \(0\leq x\leq 1\)における\(f(x)\)の最大値を\(m, n\)を用いて...

問題 \(a\)は実数で、\(\displaystyle -\frac{1}{2}\leq a<2\)を満たすとする。\(xy\)平面の領域\(D, E\)を$$D: 1\leq x^2+y^2\leq 4, \ \ E: a...

問題 \(C\)を放物線\(\displaystyle y = \frac{3}{2}x^3-\frac{1}{3}\)とする。\(C\)上の点\(\displaystyle Q\left(t, \frac{3}{2}t^2-\fr...

問題 以下の各問いに答えよ。ただし\(t\)は\(0 < t < \pi\)を満たす実数とする。\((1)\) 次の等式を証明せよ。$$\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)\left(\cos{\...

問題 次の条件\((i), (ii), (iii)\)を満たす関数\(f(x)\ (x > 0)\)を考える。\((i)\) \(f(1) = 0\)\((ii)\) 導関数\(f^{\prime}(x)\)が存在し、\(f^...