微分

問題 正の整数$n$に対し、関数$f_n(x)$を次式で定義する。$$f_n(x)={\int }_1^x(x-t{)}^n{e}^{t}dt$$（$e$は自然対数の底）。このとき以下の各問いに答えよ。$(1)$ ...

問題 次の各問いに答えよ。$(1)$ 関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ。$(2)$ 次の$2$条件$(a),(b)$を満たす微...

問題 関数$f(x)=x-\log (1+x)$について、以下の各問いに答えよ。ここで$\log$は自然対数を表す。また\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}{\frac{\log{x}}...

問題 実数$a,b$に対し、$f(x)=x^3-3ax+b$とおく。$-1\le x\le 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする。このとき以下の各問いに答えよ。$(1)$ \(a &g...

問題 $a$を正の実数、$k$を自然数とし、$x>0$で定義される関数$$f(x)={\int }_a^{ax}\frac{k+\sqrt{u}}{ku}du$$を考える。このとき以下の各問いに答えよ。\((1...

問題 $m,n$を自然数として、関数$f(x)=x^m(1-x{)}^n$を考える。このとき以下の各問いに答えよ。$(1)$ $0\le x\le 1$における$f(x)$の最大値を$m,n$を用いて...

問題 $a$は実数で、${\displaystyle -\frac{1}{2}\le a<2}$を満たすとする。$xy$平面の領域$D,E$を$$D: 1\leq x^2+y^2\leq 4, \ \ E: a...

問題 $C$を放物線${\displaystyle y=\frac{3}{2}{x}^3-\frac{1}{3}}$とする。$C$上の点\(\displaystyle Q\left(t, \frac{3}{2}t^2-\fr...

問題 以下の各問いに答えよ。ただし$t$は$0<t<\pi$を満たす実数とする。$(1)$ 次の等式を証明せよ。$$\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)\left(\cos{\...

問題 次の条件$(i),(ii),(iii)$を満たす関数$f(x)(x>0)$を考える。$(i)$ $f(1)=0$$(ii)$ 導関数$f^{\prime }(x)$が存在し、\(f^...