数列

問題 \(1\)から\(m\)までの番号が\(1\)つずつ書いてある\(m\)枚のカードが入っている箱 がある。この箱から \(1\) 枚ずつ取り出してはまたもとに戻す操作を\(n\) 回 くり返し、第\(i\)回目に取り出されたカ...

問題 \(n\)を正の整数とするとき、次の問いに答えよ。\((1)\) \(\displaystyle S_n = \int_{0}^{1}{\frac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}dx}\)の値を求めよ。\((2)\) \...

問題 \((1)\) 定積分\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}{e^{-x}\sin{x}dx}\)を求めよ。\((2)\) 極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\in...

問題 \(\displaystyle x_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}{\theta}d\theta}\ (n = 0, 1, 2, \cdots)\)のとき、次の問に答えよ。\((1)...

問題 正の数列\(\{a_n\}\ (n=1, 2, 3, \cdots)\)が不等式$${a_n}^3+3{a_n}^2-\left(9+\frac{1}{n}\right)a_n+5 < 0$$をみたしているとき、次の\(...

問題 数列\(\{a_n\}\)の初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)と表す。この数列が、$$a_1 = 0, a_2 = 1, (n-1)^2a_n = S_n\ (n\geq 1)$$を満たすとき、一般項...

問題 \(0\)または整数の値をとる変数\(X, Y\)がある。\(X\)が整数\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率と、\(Y\)が\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率はともに\(p_n\)であるとする（ここで\(\...

問題 \(a\)が実数で\(a<1\)のとき、数列\(x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots, \)を\(\displaystyle{x_0 = a, x_n = \frac{1}{2-x_{n-...