数学

問題 \(xyz\)空間において連立不等式\(|x|\leq 1, |y|\leq 1, |z|\leq 1\)の表す領域を\(Q\)とし、正の実数\(r\)に対して\(x^2+y^2+z^2\leq r\)の表す領域を\(S\)と...

問題 自然数\(n\)に対して、\(n\)のすべての正の約数（\(1\)と\(n\)を含む）の和を\(S(n)\)とおく。たとえば、\(S(9) = 1 + 3 + 9 = 13\)である。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\...

問題 座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線\(C\)を考える。$$x = |\cos{t}|\cos^3{t}, y = |\sin{t}|\sin^3{t}\ \ (0\leq t\leq 2\pi)$$このとき以下の各問...

問題 実数\(a, b\)に対し、\(f(x) = x^3-3ax+b\)とおく。\(-1\leq x\leq 1\)における\(|f(x)|\)の最大値を\(M\)とする。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\) \(a &g...

問題 \(n\)を自然数、\(m\)を\(2n\)以下の自然数とする。\(1\)から\(n\)までの自然数が\(1\)つずつ記されたカードが、それぞれの数に対して\(2\)枚ずつ、合計\(2n\)枚ある。この中から、\(m\)枚のカ...

問題 \(\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)を満たす実数\(\theta\)に対し、\(xyz\)空間内の\(4\)点\(A(\cos{\theta}, \cos{\th...

問題 自然数\(n\)に対し、\(3\)個の数字\(1, 2, 3\)から重複を許して\(n\)個並べたもの\((x_1, x_2, \cdots, x_n)\)の全体の集合を\(S_n\)とおく。\(S_n\)の要素\((x_1,...

問題 \(a\)を正の実数、\(k\)を自然数とし、\(x > 0\)で定義される関数$$f(x) = \int_{a}^{ax}{\frac{k+\sqrt{u}}{ku}du}$$を考える。このとき以下の各問いに答えよ。\((1...

問題 \(m, n\)を自然数として、関数\(f(x) = x^m(1-x)^n\)を考える。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\) \(0\leq x\leq 1\)における\(f(x)\)の最大値を\(m, n\)を用いて...

問題 \(2\)次正方行列\(\displaystyle \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)のうち、次の\(3\)条件\((i), (ii), (iii)\)を満...