数学

問題 座標空間内の点\(A\ (0, -1, 1)\)をとる。\(xy\)平面上の点\(P\)が次の条件(i), (ii), (iii)をすべて満たすとする。\(\ \ \ (i)\) \(P\)は原点\(O\)と異なる。\(\ \...

問題 \(n\)個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を\(p_n\)とする。次の問いに答えよ。\((1)\) \(...

問題 \(xyz\)空間において、点\(A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(-1, 0, 0), D(0, 0, 1)\)をとり、線分\(CD\)の中点を\(M\)とする。さらに、\(N\)を線分\(BD\)上の点と...

問題 \(|x| \leq 2\)を満たす複素数\(x\)と、\(|y-(8+6i)| = 3\)を満たす複素数\(y\)に対して、\(\displaystyle z = \frac{x+y}{2}\)とする。このような複素数\(z...

問題 整数の組\((a, b)\)に対して\(2\)次式\(f(x) = x^2+ax+b\)を考える。方程式\(f(x) = 0\)の複素数の範囲のすべての解\(\alpha\)に対して\({\alpha}^n = 1\)となる正...

問題 自然数\(k\)に対して、\(a_k = 2^{\sqrt{k}}\)とする。\(n\)を自然数とし、\(a_k\)の整数部分が\(n\)桁であるような\(k\)の個数を\(N_n\)とする。また、\(a_k\)の整数部分が\...

問題 次の関数\(f(x)\)を考える。$$f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{|t-x|}{1+t^2}dt}\ (0\leq x\leq 1)$$\((1)\) \(\displaystyle 0 < \a...

問題 \(n\)を\(2\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1, a_2, \cdots, a_n)\)を解とする方程式$$(\text{＊})\ a_1+a_2+\cdots + a_n = a_1\times a_2\t...

問題 座標空間の\(4\)店\(O, A, B, C\)は同一平面上にないとする。線分\(OA\)の中点を\(P\)、線分\(AB\)の中点を\(Q\)とする。実数\(x, y\)に対して、直線\(OC\)上の点\(X\)と、直線\...

問題 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数\(f(t), g(t)\)が次の\(6\)つの条件を満たしているとする。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t) = -f(t)g(t),\ g^{\prime}(t...