数学

問題 以下の問に答えよ。\((1)\) \(0 < x < a\)をみたす実数\(x, a\)に対し、次を示せ。$$\frac{2x}{a} < \int_{a-x}^{a+x}{\frac{1}{t}dt} &l...

問題 \((1)\) 実数\(a_1, a_2, x_1, x_2, y_1, y_2\)が$$\begin{eqnarray}0 < a_1 \leq a_2 \\ a_1x_1 \leq a_1y_2 \\ a_1...

問題 \(a\)は正の実数とする。複素数\(z\)が\(\mid z-1 \mid = a\)かつ\(\displaystyle z \ne \frac{1}{2}\)を満たしながら動くとき、複素数平面上の点\(\displayst...

問題 関数\(f(x)\)を\(\displaystyle f(x) = \int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t^2}dt}\)で定める。\((1)\) \(y = f(x)\)の\(x = 1\)における法線の方程式を...

問題 \(n\)を自然数とする。整数\(i, j\)に対し、\(xy\)平面上の点\(P_{i, j}\)の座標を$$\left(\cos{\frac{2\pi}{n}i} + \cos{\frac{2\pi}{n}j}, \sin...

問題 \(xy\)平面上の放物線\(P: y^2 = 4x\)上に異なる\(2\)点\(A, B\)をとり、\(A, B\)それぞれにおいて\(P\)への接線と直行する直線を\(n_A, n_B\)とする。\(a\)を正の数として、...

問題 \(a, b\)は実数で\(a\ne b, ab\ne 0\)とする。このとき不等式$$\frac{x-b}{x+a}-\frac{x-a}{x+b} > \frac{x+a}{x-b}-\frac{x+b}{x-a}$...

問題 座標平面上の曲線$$C: y = x^3-x$$を考える。\((1)\) 座標平面上のすべての点\(P\)が次の条件\((i)\)を満たすことを示せ。\(\ \ \ (i)\) 点\(P\)を通る直線\(l\)で、曲線\(C\...

問題 数列\(\{x_n\}, \{y_n\}\)を次の式$$\begin{eqnarray}x_1 = 0, x_{n+1} = x_n+n+2\cos{\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right)}\ \ \ ...