数学

問題 箱の中に\(1\)から\(n\)までの番号がついた\(n\)枚の札がある。ただし\(n\geq 5\)とし、同じ番号の札はないとする。この箱から\(3\)枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に\(X, Y, Z\)とする...

問題 曲線\(C: y = f(x)\ \ (0\leq x<1)\)が次の条件を満たすとする。\(\cdot f(0) = 0\)\(\cdot\) \(0<x<1\)のとき\(f^{\prime}(x) > 0...

問題 四面体\(OABC\)が$$OA = 4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt{3}$$を満たしているとする。\(P\)を辺\(BC\)上の点とし、\(\triangle{OAP}\)の重心を\(G\)とする。こ...

問題 \(1\)と\(0\)を\(5\)個並べた列\(10110\)をある人が繰り返し書き写すとする。ただし、この列を\(S\)で表し、これの第\(1\)回目の写しを\(S_1\)で表すとき、第\(2\)回目に書き写すときに\(S_...

問題 \(n\)を自然数とする。\(3\)つの整数\(n^2+2, n^4+2, n^6+2\)の最大公約数\(A_n\)を求めよ。 方針 \(n^6\)は急速に大きくなるので、実験もしにくい。Euclidの互除法を用い...

問題 曲線\(\displaystyle C: y = \cos^3{x} \ \ \left(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\right)\)、\(x\)軸および\(y\)軸で囲まれる図形の面積を\(S\)とす...

問題 \(5.4<\log_{4}{2022} < 5.5\)であることを示せ。ただし、\(0.301<\log_{10}{2}<0.3011\)であることは用いてもよい。 方針 近年の京都大学の...

問題 座標空間内の点\(A(0, 0, 2)\)と点\(B(1, 0, 1)\)を結ぶ線分\(AB\)を\(z\)軸のまわりに\(1\)回転させて得られる曲面を\(S\)とする。\(S\)上の点\(P\)と\(xy\)平面上の点\(...

問題 次の関数\(f(x)\)を考える。$$f(x) = (\cos{x})\log{(\cos{x})}-\cos{x}+\int_{0}^{x}{(\cos{t})\log{(\cos{t})}dt}\ \ \ \left(0\...