数学

問題 \(\displaystyle x_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}{\theta}d\theta}\ (n = 0, 1, 2, \cdots)\)のとき、次の問に答えよ。\((1)...

問題 方程式$$e^x(1-\sin{x}) = 1$$について、次の問に答えよ。\((1)\) この方程式は負の実数解をもたないことを示せ。また、正の実数解を無限個もつことを示せ。\((2)\) この方程式の正の実数解を小さい順か...

問題 極限値$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin^2{nx}}{1+x}dx}}$$を求めよ。 方針 極限を求めることは出来ないので、「相方」を持...

問題 \(a, b, c, p\)を実数とする。不等式$$\begin{eqnarray}ax^2+bx+c & > & 0 \\ bx^2+cx+a & > & 0 \\ cx^2+ax+b &a...

問題 正の数列\(\{a_n\}\ (n=1, 2, 3, \cdots)\)が不等式$${a_n}^3+3{a_n}^2-\left(9+\frac{1}{n}\right)a_n+5 < 0$$をみたしているとき、次の\(...

問題 正の実数\(a\)に対して、座標平面上で次の放物線を考える。$$C: y = ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}$$\(a\)が正の実数全体を動くとき、\(C\)の通過する領域を図示せよ。 方針 問題を言...

問題 数列\(\{c_n\}\)を次の式で定める。$$c_n = (n+1)\int_{0}^{1}{x^n\cos{\pi x}dx}\ (n=1, 2, , \cdots)$$このとき、\((1)\) \(c_n\)と\(c_{...

問題 \(n\)を自然数とし、\(\displaystyle I_n = \int_{1}^{e}{(\log{x})^ndx}\)とおく。\((1)\) \(I_{n+1}\)を\(I_n\)を用いて表わせ。\((2)\) すべて...

問題 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{_{3n}\mathbb{C}_{n}}{_{2n}\mathbb{C}_{n}}\right)^{\frac{1}{n}}}\)を...

問題 \(H > 0, R > 0\)とする。空間内において、原点\(O\)と点\(P(R, 0, H)\)を結ぶ線分を、\(z\)軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが\(h\)のと...