数学

問題 \(a\)は\(0\)でない実数とする。関数$$f(x) = (3x^2-4)\left(x-a+\frac{1}{a}\right)$$の極大値と極小値の差が最小となる\(a\)を求めよ。 方針 そのまま代入して...

問題 \(\displaystyle{\int_{0}^{\pi}{e^x\sin^2{x}dx} > 8}\)であることを示せ。ただし\(\displaystyle{\pi = 3.14\cdots}\)は円周率、\(\di...

問題 \(2\)次方程式\(ax^2-bx+3c=0\)において、\(a, b, c\)は\(1\)桁の自然数であり、二つの解\(\alpha, \beta\)は\(1<\alpha<2, 5<\beta<6...

問題 \(a_1 = \frac{1}{2}\)とし、数列\(\{a_n\}\)を漸化式$$a_{n+1} = \frac{a_{n}}{(1+a_n)^2}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$によって定める。このと...

問題 \(a+b+c = 0\)を満たす実数\(a, b, c\)について、\((\mid a \mid + \mid b\mid + \mid c \mid)^2\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)が成り立つことを示せ。また...

問題 \(0<x<1\)に対して、\(\displaystyle{\frac{1-x^3}{3} > \frac{1-x^2}{2}\sqrt{x}}\)が成り立つことを証明せよ。 方針 \(\sqrt{x}...

問題 \(2\)以上の自然数\(k\)に対して$$f_k(x) = x^k-kx+k-1$$とおく。このとき、次のことを証明せよ。\((1)\) \(n\)次多項式\(g(x)\)が\((x-1)^2\)で割り切れるためには、\(g...

問題 自然数\(n\)と\(n\)項数列\(a_k (1\leq k\leq n)\)が与えられていて、次の条件（イ）、（ロ）を満たしている。（イ）\(a_k (1\leq k\leq n)\)はすべて正整数で、すべて\(1\)と\...

問題 整数\(a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3} (n = 1, 2, 3, \cdots)\)のすべてを割り切る素数を求めよ。 方針 小さい\(n\)で実験してみると、答えはすぐに分かる。 ...