数学

問題 \((1)\) 正の整数\(n\)に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb...

問題 次の連立方程式\((*)\)を考える。$$(*)\begin{cases}y = 2x^2-1 \\ z = 2y^2-1\\ x = 2z^2-1 \end{cases}$$\((1)\) \((x, y, z) = (a,...

問題 曲線\(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(P\)における接線は\(x\)軸と交わるとし、その交点を\(Q\)とおく。線分\(PQ\)の長さを\(L\)とするとき、\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ。 ...

問題 \(0\)または整数の値をとる変数\(X, Y\)がある。\(X\)が整数\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率と、\(Y\)が\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率はともに\(p_n\)であるとする（ここで\(\...

問題 \(xy\)平面上の楕円$$E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$について、以下の問いに答えよ。\((1)\) \(a,\ b\)を実数とする。直線\(l:\ y = ax + b\)と楕円\(E\)が異なる...

問題 \(\displaystyle{a_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}, b_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{2k+1}}}}\)とするとき、\(\...

問題 \(a, b\)を正の整数とする。\((i)\) \(c = a + b, d =a^2-ab+b^2\)とおくとき、不等式\(\displaystyle{1 < \frac{c^2}{d} \leq 4}\)が成り立つ...

問題 \(a\)が実数で\(a<1\)のとき、数列\(x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots, \)を\(\displaystyle{x_0 = a, x_n = \frac{1}{2-x_{n-...

問題 \(n\)個\((n\geq 3)\)の実数\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)があり、各\(a_i\)は他の\(n-1\)個の相加平均より大きくはないという。このような\(a_1, a_2, \cdots, a...

問題 \((1)\) \((b-a)(b+a) = 9\)を満たす整数\(a, b\)の組\((a, b)\)をすべて求めよ。\((2)\) \(\sqrt{c^2+72}\)が整数となるような整数\(c\)をすべて求めよ。\((3...