数学

問題 \(k\)は\(0\)または正の整数とする。方程式\(x^2-y^2 = k\)の解\((a, b)\)で、\(a, b\)がともに奇数であるものを奇数解とよぶ。\((1)\)方程式\(x^2-y^2=k\)が奇数解をもてば、...

問題 \(a\)は正の定数とする。不等式\(a^{x}\geq ax\)がすべての正の数\(x\)に対して成り立つという。このとき\(a\)はどのようなものか。 方針 「文字定数は分離せよ」。 解答 \(a,...

問題 \((1)\) \(a_0 < b_0, a_1 < b_1\)を満たす正の実数\(a_0, b_0, a_1, b_1\)について、次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{{b_1}^2}{{a_0}^2...

問題 実数\(a, b, c, x, y, z, p\)が次の\(4\)条件を満たしている。$$\begin{cases}a^2-b^2-c^2 > 0\\ ax + by+cz = p\\ ap < 0 \\ x > 0\e...

問題 数列\(\{a_n\}\)を\(a_1 = 1, a_n = 1 + \frac{1}{n^2}{a_{n-1}}^2\)で定める。このとき、\(\lim_{n\to\infty}{a_n}\)を求めよ。 方針 一...

問題 \(3\)次関数\(h(x) = px^3+qx^2+rx + s\)は次の条件\((i), (ii)\)をみたすものとする。\((i)\) \(h(1) = 1, h(-1) = -1\)\((ii)\) \(-1<x...

問題 \((1)\) 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、ある多項式\(p_n(x), q_n(x)\)が存在して、$$\sin{n\theta} = p_n(\tan{\theta})\cos^n{\th...

問題 \(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...

問題 \(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\...