数学

問題 実数または複素数の\(x, y, z, a\)について、\(x+y+z = a, x^3+y^3+z^3 = a^3\)の二式が成立するとき、\(x, y, z\)のうち少なくとも1つは\(a\)に等しいことを示せ。 方...

問題 \(1\)次式\(A(x), B(x), C(x)\)に対して\(\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2 = \{C(x)\}^2\)が成り立つとする。このとき\(A(x)\)は\(B(x)\)とともに\(C(x)\)の定...

問題 \(Q(x)\)を\(2\)次式とする。整式\(P(x)\)は\(Q(x)\)で割り切れないが、\(\{P(x)\}^2\)は\(Q(x)\)で割り切れるという。このとき\(2\)次方程式\(Q(x) = 0\)は重解をもつこ...

問題 \(a, b, c\)を正の数とするとき、不等式$$2\left(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)\leq 3\left(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt{abc}\right)$$を証明...

問題 \(x\)が\(0\leq x\leq 3\)という範囲を動くときの、関数\(f(x) = 2x^2-4ax+a+a^2\)の最小値\(m\)が\(0\)になるような、定数\(a\)の値をすべて求めよ。 方針 一般...

問題 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、\((2-\sqrt{3})^n\)という形の数を考える。これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数\(m\)が存在して\(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\...

問題 \(k > 0\)とする。\(xy\)平面上の二曲面$$y = k(x-x^3), x = k(y-y^3)$$が第一象限に\(\alpha \ne \beta\)なる交点\((\alpha, \beta)\)をもつよう...

問題 \(\alpha, \beta\)は複素数で、\(\alpha\)の絶対値は\(1\)とする。このとき\(z + \alpha\bar{z} +\beta =0\)を満足する複素数\(z\)があるための必要十分条件は\(\al...

問題 \(2\)次の正方行列\(X, Y\)は\(XY = Y X\)のとき交換可能であるという。\(2\)次の正方行列\(A\)と\(B\)は交換可能ではないが、\(A\)と\(AB\)は交換可能であり、\(A\)と\(BA\)を...

問題 \(x > 0\)に対し\(f(x) = \frac{\log{x}}{x}\)とする。\((1)\) \(n = 1, 2, \cdots\)に対し\(f(x)\)の\(n\)次導関数は、数列\(\{a_n\}, \{...