math [math]2021年度東京工業大学数学問題1 問題 正の整数に関する条件(*) \(10\)進法で表したときに、どの位にも数字\(9\)が現れないを考える。以下の問いに答えよ。\((1)\) \(k\)を正の整数とするとき、\(10^{k-1}\)以上かつ\(10^k\)未満で... 2021.10.13 math
math [math]2005年京都大学理系後期数学問題6 問題 \(n\)枚の\(100\)円玉と\(n+1\)枚の\(500\)円玉を同時に投げたとき、表の出た\(100\)円玉の枚数より表の出た\(500\)円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。 方針 \(1\)枚余分なので、... 2021.10.12 math
math [math]1999年東京大学理系前期数学問題2 問題 複素数\(z_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)\)を\(z_1= 1, z_{n+1}=(3+4i)z_n+1\)によって定める。ただし\(i\)は虚数単位であり、また、複素数\(z = x + yi\)(\(x, ... 2021.10.11 math
math [math]1961年度東京工業大学数学問題6 問題 すべての\(x\)に対して\(|f^{\prime}(x)|<\frac{1}{2}\)となるとき、\((1)\)方程式\(f(x)-x=0\)がただ\(1\)つの実根をもつことを証明せよ。\((2)\)この実根を\(\... 2021.10.10 math
math [math]2006年京都大学理系後期数学問題6 問題 \(\tan{1^\circ}\)は有理数か。 方針 背理法を用いる。 解答 有理数であると仮定して、\(\tan{1^\circ}=\alpha\)と置く。$$\tan{(1+1)^\circ}=\f... 2021.10.09 math
math [math]2021年東京大学理系数学問題6 問題 定数\(b, c, p, q, r\)に対し、$$x^4 + bx + c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$$が\(x\)についての恒等式であるとする。\((1)\)\(p \ne 0\)であるとき、\(q, r... 2021.10.01 math
math [math]1999年京都大学理系後期問題2 問題 \(\alpha, \beta, \gamma\)は\(\alpha >0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha + \beta+\gamma = \pi\)を満たすものとする。このと... 2021.10.01 math
math [math]1994年東京大学理系数学問題1 問題 $$f(x) = x^4+x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x + \frac{1}{24}$$$$g(x) = x^5+x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^2+\frac... 2021.09.29 math
math [math]2016年京都大学大学院理学研究科数学・数理解析学専攻基礎科目I問題4 問題 次の極限値を求めよ。$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-x}(nx-)dx}}$$ただし、\(n\)は自然数とし、\(\)は\(y\)を超えない最大の整数を表す。 方針 ... 2021.09.28 math
math [math]1995年東京大学前期理系数学問題1 問題 すべての正の実数\(x, y\)に対し$$\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq k \sqrt{2 x+y}$$が成り立つような実数\(k\)の最小値を求めよ。 方針 微分でもコーシー・シュワルツの不等式で... 2021.09.27 math