数学

問題 座標空間内の\(4\)点\(O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 2, 3)\)を考える。\((1)\) \(\overrightarrow{OP} \perp \overright...

問題 \(a\)を実数とし、座標平面上の点\((0, a)\)を中心とする半径\(1\)の円の周を\(C\)とする。\((1)\) \(C\)が、不等式\(y > x^2\)の表す領域に含まれるような\(a\)の範囲を求めよ。...

問題 黒玉\(3\)個、赤玉\(4\)個、白玉\(5\)個が入っている袋から玉を\(1\)個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に\(12\)個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。\((1)\...

問題 空間内の\(4\)点\(O, A, B, C\)は同一平面上にないとする。点\(D, P, Q\)を次のように定める。点\(D\)は\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 2...

問題 \(O\)を原点とする\(xyz\)空間において、点\(P\)と点\(Q\)は次の\(3\)つの条件\((a), (b), (c)\)を満たしている。\((a)\) 点\(P\)は\(x\)軸上にある。\((b)\) 点\(Q...

問題 \(n\)を自然数とする。\(1\)個のさいころを\(n\)回投げ、出た目を順に\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)とし、\(n\)個の数の積\(X_1X_2\cdots X_n\)を\(Y\)とする。\((1)...

問題 方程式$$(x^3-x)^2(y^3-y) = 86400$$を満たす整数\((x, y)\)をすべて求めよ。 方針 \(86400 = 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\)であるから、左辺を因数分解する...

問題 実数\(\displaystyle \int_{0}^{2023}{\frac{2}{x+e^x}dx}\)の整数部分を求めよ。 方針 まず\(0\leq x\leq 2023\)で\(\displaystyle ...

問題 \(p\)を\(3\)以上の素数とする。また、\(\theta\)を実数とする。\((1)\) \(\cos{3\theta}\)と\(\cos{4\theta}\)を\(\cos{\theta}\)の式として表わせ。\((2...

問題 次の関数\(f(x)\)の最大値と最小値を求めよ。$$f(x) = e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}\ \ \ (-1\leq x\le...