整数

問題 \(n\)を\(2\)以上の自然数とする。自然数の組\((a_1, a_2, \cdots, a_n)\)を解とする方程式$$(\text{＊})\ a_1+a_2+\cdots + a_n = a_1\times a_2\t...

問題 \(2\)以上の整数で、\(1\)とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。\((1)\) \(f(x) = x^3+10x^2+20x\)とする。\(f(n)\)が整数になるような整数\(n\)を...

問題 \(2\)以上の自然数\(n\)に対して、\(n\)を割り切る素数の個数を\(f(n)\)とする。例えば\(n = 120\)のとき、\(120\)を割り切る素数は\(2\)と\(3\)と\(5\)なので、\(f(120) =...

問題 \(xy\)平面において、\(x\)座標および\(y\)座標が共に整数であるような点を格子点と呼び。\(xy\)平面上の相異なる\(2\)つの格子点を端点とする折れ線のうち、\(x\)座標または\(y\)座標が等しい格子点どう...

問題 方程式$$(x^3-x)^2(y^3-y) = 86400$$を満たす整数\((x, y)\)をすべて求めよ。 方針 \(86400 = 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\)であるから、左辺を因数分解する...

問題 \(p\)を\(3\)以上の素数とする。また、\(\theta\)を実数とする。\((1)\) \(\cos{3\theta}\)と\(\cos{4\theta}\)を\(\cos{\theta}\)の式として表わせ。\((2...

問題 次の条件\((i), (ii)\)をともに満たす正の整数\(N\)をすべて求めよ。\((i)\) \(N\)の正の約数は\(12\)個。\((ii)\) \(N\)の正の約数を小さい方から順に並べたとき、\(7\)番目の数は\...

問題 次の各問いに答えよ。なお自然数\(n\)に対し\(1\)および\(n\)自身も\(n\)の約数であることに注意せよ。\((1)\) \(n = 3^p5^q\) （\(p, q\)は自然数）のとき、\(n\)の約数の個数を\(...

問題 \(n\)を自然数とする。\(1\)から\(3n+1\)までの自然数を並びかえて、順に\(a_1, a_2, \cdots, a_{n+1}, b_1, b_2, \cdots, b_{n}, c_1, c_2, \cdots...