整数

問題 自然数\(n\)に対して、\(n\)のすべての正の約数（\(1\)と\(n\)を含む）の和を\(S(n)\)とおく。たとえば、\(S(9) = 1 + 3 + 9 = 13\)である。このとき以下の各問いに答えよ。\((1)\...

問題 \(2\)次正方行列\(\displaystyle \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)のうち、次の\(3\)条件\((i), (ii), (iii)\)を満...

問題 \(n\)を自然数とする。\(3\)つの整数\(n^2+2, n^4+2, n^6+2\)の最大公約数\(A_n\)を求めよ。 方針 \(n^6\)は急速に大きくなるので、実験もしにくい。Euclidの互除法を用い...

問題 正の実数\(a, b, c\)を係数とする\(2\)次式\(f(x) = ax^2+bx+c\)に関して、次の条件\(C\)を考える。条件\(C:\) \(3\)で割り切れないすべての整数\(x\)について、\(f(x)\)が...

問題 \(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して数列\(\displaystyle a(n) = \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n!}\)を考える。\((1)\) \(\displaystyle \lim...

問題 座標平面または座標空間において、座標成分がすべて整数である点を格子点という。以下の各問に答えよ。\((1)\) \(C_1\)を座標平面上の半径\(0.5\)の円とする。\(C_1\)が内部に格子点を含まないとき、\(C_1\...

問題 以下の問に答えよ。ただし、\(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\)が無理数であることは使ってよい。\((1)\) 有理数\(p, q, r\)について、\(p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3} =...

問題 \(2\)以上の整数\(n\)に対して方程式\(x_1+x_2+\cdots + x_n = x_1x_2\cdots x_n\)の正の整数解\((x_1, x_2, \cdots, x_n)\)を考える。ただし、たとえば\(...