math [math]1985年京都大学理系数学問題4
問題
実数\(r(r>0)\)に対して、下の方程式\(\text{①}\)の定める球面と、\(\text{②}\)の定める平面の共通部分を\(D\)とする。$$\text{①}x^2+y^2+z^2=\frac{1}{3}(r^2+...
整数
math 
math [math]1979年東京大学文理共通問題文系問題4理系問題3
問題
\(a\)を正の整数とし、数列\(\{u_n\}\)を次のように定める。$$\begin{cases}u_1 = 2, u_2=a^2+2\\ u_n = au_{n-2}-u_{n-1}, \ n=3, 4, 5, \cdo...
math [math]2006年東京大学理系前期数学問題4
問題
次の条件を満たす組\(x, y, z\)を考える。条件\((A)\): \(x, y, z\)は正の整数で、\(x^2+y^2+z^2=xyz\)および\(x\leq y\leq z\)を満たす。以下の問に答えよ。\((1)\...
math [math]2020年前期東京工業大学数学問題1
問題
次の問に答えよ。\((1)\) \(\mid x^2-x-23\mid\)の値が、\(3\)を法として\(2\)に合同である正の整数\(x\)をすべて求めよ。\((2)\) \(k\)個の連続した正の整数\(x_1, \cdo...
math [math][東京工業大学]2018年度前期東京工業大学数学問題2
問題
次の問に答えよ。\((1)\) \(35x + 91y + 65z = 3\)を満たす整数の組\((x, y, z)\)を一組求めよ。\((2)\) \(35x + 91y + 65z = 3\)を満たす整数の組\((x, y...
math [math]2021年東京工業大学数学問題3
問題
\((1)\) 正の整数\(n\)に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb...
math [math]1991年東京医科歯科大学前期数学問題1
問題
\((1)\) \((b-a)(b+a) = 9\)を満たす整数\(a, b\)の組\((a, b)\)をすべて求めよ。\((2)\) \(\sqrt{c^2+72}\)が整数となるような整数\(c\)をすべて求めよ。\((3...
math [math]2000年京都大学後期理系数学問題3
問題
\(x, y\)平面上の点で\(x\)座標、\(y\)座標がともに整数である点を格子点という。\(a, k\)は整数で\(a\geq 2\)とし、直線\(L: ax + (a^2+1)y = k\)を考える。\((1)\) 直...
math [math]2016年京都大学理系数学問題2
問題
素数\(p, q\)を用いて$$p^q + q^p$$と表される素数をすべて求めよ。
方針
\(p, q\)が両方奇数ならば、\(p^q + q^p\)は偶数になる。
解答
\(p, q\)が\(2\)...
math [math]2015年東京大学理系数学問題4
問題
数列\(p_n\)を次のように定める。$$p_1 = 1, p_2 = 2, p_{n+2} = \frac{{p_{n+1}}^2+1}{p_n}\ (n = 1, 2, 3, \cdots)$$\((1)\) \(\fra...