math [math]1977年京都大学数学文系問題5
問題
\(p\)が素数であれば、どんな自然数\(n\)についても、\(n^p-n\)は\(p\)で割り切れる。このことを、\(n\)についての数学的帰納法で証明せよ。
方針
丁寧に解法まで指定してくれているので、素直に従...
文系
math math [math]1986年東京大学文系数学問題1
問題
\(x\)が\(0\leq x\leq 3\)という範囲を動くときの、関数\(f(x) = 2x^2-4ax+a+a^2\)の最小値\(m\)が\(0\)になるような、定数\(a\)の値をすべて求めよ。
方針
一般...
math [math]2001年京都大学文系後期数学問題2
問題
\(1\)または\(-1\)からなる数列\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)において、そのうち\(m\)個が\(1\)で、\(n-m\)個は\(-1\)とする。\(k = 1, 2, \cdots, n\)に対し...
math [math]1991年京都大学前期文系数学問題4
問題
実数\(p, q\)に対し、\(x^3-px+q = 0\)の解がすべて実数なら（すなわち虚数解を持たないなら）\(x^3-2px^2+p^2x-q^2=0\)の解もすべて実数であることを示せ（\(30\)点）。
方針
...