math [math]2022年東京大学理系前期数学問題2
問題
数列\(a_n\)を次のように定める。$$a_1 = 1, a_{n+1}={a_n}^2+1\ \ \ (n=1, 2, 3, \cdots)$$\((1)\) 正の整数\(n\)が\(3\)の倍数のとき、\(a_n...
東京大学
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math [math]2022年東京大学理系前期数学問題1
問題
次の関数\(f(x)\)を考える。$$f(x) = (\cos{x})\log{(\cos{x})}-\cos{x}+\int_{0}^{x}{(\cos{t})\log{(\cos{t})}dt}\ \ \ \left(0\...
math [math]1978年東京大学理系数学問題4
問題
行列\(A = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)に対し、次の問いに答えよ。任意の整数\(n > 0\)に対し...
math [math]1998年東京大学前期理系数学問題2
問題
\(n\)を正の整数とする。連立不等式$$\begin{cases}x+y+z\leq n \\ -x+y-z\leq n \\ x-y-z\leq n\\ -x-y+z\leq n\end{cases}$$をみたす\(xyz...
math [math]1974年東京大学文理共通文系問題2理系問題2
問題
長さ\(l\)の線分が、その両端を放物線\(y=x^2\)の上にのせて動く。この線分の中点\(M\)が\(x\)軸に最も近い場合の\(M\)の座標を求めよ。ただし、\(l\geq 1\)とする。
方針
座標を置いて...
math [math]1999年東京大学後期理系数学問題1
問題
\(n\)を正の整数とする。\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\)の範囲において$$f_n(x) = \begin{cases}\displaystyl...
math [math]1998年東京大学前期数学問題6
問題
\(xyz\)座標空間に\(5\)点\(A(1, 1, 0), B(-1, 1, 0), C(-1, -1, 0), D(1, -1, 0), P(0, 0, 3)\)をとる。四角錐\(PABCD\)の\(x^2+y^2\ge...
math [math]1992年東京大学前期文系数学問題1
問題
\(x\)についての方程式\(px^2+(p^2-q)x-(2p-q-1)=0\)が解をもち、すべての解の実部が負となるような実数の組\((p, q)\)の範囲を\(pq\)平面上に図示せよ。（注）複素数\(a+bi\)（\(...
math [math]1979年東京大学文理共通問題文系問題4理系問題3
問題
\(a\)を正の整数とし、数列\(\{u_n\}\)を次のように定める。$$\begin{cases}u_1 = 2, u_2=a^2+2\\ u_n = au_{n-2}-u_{n-1}, \ n=3, 4, 5, \cdo...
math [math]1997年東京大学文系前期問題4
問題
\(0\leq t\leq 1\)をみたす実数\(t\)に対して、\(xy\)平面上の点\(A, B\)を$$A\left(\frac{2(t^2+t+2)}{3(t+1)}, -2\right), B\left(\frac{...