math [math]1991年東京大学理系数学問題4
問題
\((1)\) 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、ある多項式\(p_n(x), q_n(x)\)が存在して、$$\sin{n\theta} = p_n(\tan{\theta})\cos^n{\th...
東京大学
math math [math]1991年東京大学前期理系問題3
問題
定数\(p\)に対して、\(3\)次方程式$$x^3-3x-p = 0$$の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を\(f(p)\)とする。ただし、実数解がただ一つのときには、その\(2\)乗を\(f(p)\)とする。\((...
math [math]1986年東京大学文系数学問題1
問題
\(x\)が\(0\leq x\leq 3\)という範囲を動くときの、関数\(f(x) = 2x^2-4ax+a+a^2\)の最小値\(m\)が\(0\)になるような、定数\(a\)の値をすべて求めよ。
方針
一般...
math [math]1989年東京大学数学文理共通問題1
問題
\(k > 0\)とする。\(xy\)平面上の二曲面$$y = k(x-x^3), x = k(y-y^3)$$が第一象限に\(\alpha \ne \beta\)なる交点\((\alpha, \beta)\)をもつよう...
math [math]2005年前期東京大学理系数学問題1
問題
\(x > 0\)に対し\(f(x) = \frac{\log{x}}{x}\)とする。\((1)\) \(n = 1, 2, \cdots\)に対し\(f(x)\)の\(n\)次導関数は、数列\(\{a_n\}, \{...
math [math]1983年東京大学理系数学第6問
問題
放物線\(y = \frac{3}{4}-x^2\)を\(y\)軸のまわりに回転して得られる曲面\(K\)を、原点を通り回転軸と\(45^\circ\)の角をなす平面\(H\)で切る。曲面\(K\)と平面\(H\)で囲まれた立...
math [math]1973年東京大学理系数学問題2
問題
\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)はおのおの\(0, 1, 2\)のどれかの値をとる。$$f_1 = \sum_{i=1}^{n}{}x_i, f_2 = \sum_{i=1}^{n}{{x_i}^2}$$のと...
math [math]1961年東京大学理系数学問題2
問題
\(x\)の\(4\)次式\(f(x)\)において$$f(-0.2)=2.226, f(-0.1)=2.460, f(0)=2.718, f(0.1)=3.004, f(0.2)=3.320$$であるとき、\(f^{\prim...
math [math]2015年東京大学理系数学問題4
問題
数列\(p_n\)を次のように定める。$$p_1 = 1, p_2 = 2, p_{n+2} = \frac{{p_{n+1}}^2+1}{p_n}\ (n = 1, 2, 3, \cdots)$$\((1)\) \(\fra...
math [math]2019年東京大学理系数学問題5
問題
以下の問に答えよ。\((1)\) \(n\)を\(1\)以上の整数とする。\(x\)についての方程式$$x^{2n-1} = \cos{x}$$は、ただ一つの実数解\(a_n\)をもつことを示せ。\((2)\) \((1)\)...