math [math]2019年東京大学理系数学問題4
問題
\(n\)を\(1\)以上の整数とする。\((1)\) \(n^2+1\)と\(5n^2+9\)の最大公約数\(d_n\)を求めよ。\((2)\) \((n^2+1)(5n^2+9)\)は整数の二乗にならないことを示せ。
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東京大学
math math [math]2014年東京大学理系数学問題1
問題
\(1\)辺の長さが\(1\)の正方形を底面とする四角柱\(OABC-DEFG\)を考える。\(3\)点\(P, Q, R\)を、それぞれ辺\(AE\)、辺\(BF\)、辺\(CG\)上に、\(4\)点\(O, P, Q, R...
math [math]2021年東京大学理系数学問題4
問題
以下の問いに答えよ。\((1)\) 正の奇数\(K, L\)と正の整数\(A, B\)が\(KA = LB\)を満たしているとする。\(K\)を\(4\)で割った余りが\(L\)を\(4\)で割った余りと等しいならば、\(A\...
math [math]1999年東京大学理系前期数学問題2
問題
複素数\(z_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)\)を\(z_1= 1, z_{n+1}=(3+4i)z_n+1\)によって定める。ただし\(i\)は虚数単位であり、また、複素数\(z = x + yi\)(\(x, ...
math [math]2000年東京大学理系前期第2問
問題
複素平面上の原点以外の相異なる\(2\)点\(P(\alpha), Q(\beta)\)を考える。\(P(\alpha), Q(\beta)\)を通る直線を\(l\)、原点から\(l\)に引いた垂線と\(l\)の交点を\(R(...
math [math]2021年東京大学理系数学問題6
問題
定数\(b, c, p, q, r\)に対し、$$x^4 + bx + c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$$が\(x\)についての恒等式であるとする。\((1)\)\(p \ne 0\)であるとき、\(q, r...
math [math]1994年東京大学理系数学問題1
問題
$$f(x) = x^4+x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x + \frac{1}{24}$$$$g(x) = x^5+x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^2+\frac...
math [math]1995年東京大学前期理系数学問題1
問題
すべての正の実数\(x, y\)に対し$$\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq k \sqrt{2 x+y}$$が成り立つような実数\(k\)の最小値を求めよ。
方針
微分でもコーシー・シュワルツの不等式で...
math [math]1998年東京大学前期理系数学問題4
問題
実数\(a\)に対して\(k \leq a \leq k+1\)を満たす整数\(k\)を\(\)で表す。\(n\)を正の整数として、$$f(x)= \frac{x^2 (2\cdot 3^3 \cdot n-x)}{2^5\c...