東京工業大学

問題 \(H_1, \cdots, H_n\)を空間内の相異なる\(n\)枚の平面とする。\(H_1, \cdots, H_n\)によって空間が\(T(H_1, \cdots, H_n)\)個の空間領域に分割されるとする。例えば、空...

問題 \(i\)を虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数\(z\)により\(\displaystyle \frac{z}{3+2i}\)と表される複素数全体の集合を\(M\)とする。\((1)\) 原点を中心とする半...

問題 次の等式が\(1\leq x\leq 2\)で成り立つような関数\(f(x)\)と定数\(A, B\)を求めよ。$$\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}{|\log{y}|f(xy)dy} = 3x...

問題 \((1)\) \(h > 0\)とする。座標平面上の点\(O(0, 0)\)、点\(P(h, s)\)、点\(Q(h, t)\)に対して、三角形\(OPQ\)の面積を\(S\)とする。ただし、\(s < t\)と...

問題 \(k\)を正の整数とし、\(\displaystyle a_k = \int_{0}^{1}{x^{k-1}\sin{\left(\frac{\pi x}{2}\right)}dx}\)とおく。\((1)\) \(a_{k+...

問題 \(n\)を正の奇数とする。曲線\(y = \sin{x}\ \ ((n-1)\pi \leq x\leq n\pi)\)と\(x\)軸で囲まれた部分を\(D_n\)とする。直線\(x + y = 0\)を\(l\)とおき、\...

問題 座標空間に\(5\)点$$O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 4), P(0,0, -2)$$をとる。さらに\(0 < a < 3, 0 < b < ...

問題 \(xy\)平面上の円\(C: x^2+(y-a)^2=a^2\ (a > 0)\)を考える。以下の問いに答えよ。\((1)\) 円\(C\)が\(y\geq x^2\)で表される領域に含まれるための\(a\)の範囲を求...

問題 \(S\)を、座標空間内の原点\(O\)を中心とする半径\(1\)の球面とする。\(S\)上を動く点\(A, B, C, D\)に対して、$$F = 2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)$$と...

問題 空間内の四面体\(ABCD\)を考える。辺\(AB, BC, CD, DA\)の中点を、それぞれ\(K, L, M, N\)とする。\((1)\) \(4\overrightarrow{MK}\cdot \overrighta...