東京工業大学

[math]2022年東京工業大学数学問題2

問題 $3$つの正の整数$a, b, c$の最大公約数が$1$であるとき、次の問いに答えよ。$(1)$ $a+b+c, bc + ca + ab, abc$の最大公約数は$1$であることを示せ。$(2)$...

2022.03.10

math

問題 $(1)$ 極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=n}^{2n}{\frac{1}{k}}}$を求めよ。$(2)$ 任意の正数$a$に対して、\(\displa...

2022.02.22

math

問題 $n = 1, 2, 3, \cdots$に対して数列$\displaystyle a(n) = \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n!}$を考える。$(1)$ \(\displaystyle \lim...

2022.02.20

math

問題 $2$以上の整数$n$に対して方程式$x_1+x_2+\cdots + x_n = x_1x_2\cdots x_n$の正の整数解$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$を考える。ただし、たとえば\(...

2022.02.17

math

問題数列$\{a_n\}$を$$a_1 = 5, a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2}\ (n=1, 2, 3, \cdots)$$で定める。また数列$\{b_n\}$を$$b_n = \frac{a_...

2022.02.16

math

問題 $n$を自然数、$P(x)$を$n$次の多項式とする。$P(0), P(1), \cdots, P(n)$が整数ならば、すべての整数$k$に対して、$P(k)$は整数であることを証明せよ。方針 ...

2022.02.14

math

問題定積分$\displaystyle \int_{0}^{1}{e^x\mid x-a \mid dx}$を最小にする$a$を求めよ。方針もちろん場合分けが必要になる。解答問題文の積分を\...

2022.02.11

math

問題 $(1)$ 定積分$\displaystyle \int_{0}^{\pi}{e^{-x}\sin{x}dx}$を求めよ。$(2)$ 極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\in...

2022.01.17

math

問題方程式$$e^x(1-\sin{x}) = 1$$について、次の問に答えよ。$(1)$ この方程式は負の実数解をもたないことを示せ。また、正の実数解を無限個もつことを示せ。$(2)$ この方程式の正の実数解を小さい順か...

2022.01.10

math

問題極限値$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin^2{nx}}{1+x}dx}}$$を求めよ。方針極限を求めることは出来ないので、「相方」を持...

2022.01.08

math