math [math]2022年東京工業大学数学問題2
問題
\(3\)つの正の整数\(a, b, c\)の最大公約数が\(1\)であるとき、次の問いに答えよ。\((1)\) \(a+b+c, bc + ca + ab, abc\)の最大公約数は\(1\)であることを示せ。\((2)\)...
東京工業大学
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math [math]1997年東京工業大学理系前期数学問題2
問題
\((1)\) 極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=n}^{2n}{\frac{1}{k}}}\)を求めよ。\((2)\) 任意の正数\(a\)に対して、\(\displa...
math [math]1995年東京工業大学前期東京工業大学数学問題1
問題
\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して数列\(\displaystyle a(n) = \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n!}\)を考える。\((1)\) \(\displaystyle \lim...
math [math]1996年東京工業大学前期数学問題1
問題
\(2\)以上の整数\(n\)に対して方程式\(x_1+x_2+\cdots + x_n = x_1x_2\cdots x_n\)の正の整数解\((x_1, x_2, \cdots, x_n)\)を考える。ただし、たとえば\(...
math [math]2015年東京工業大学前期数学問題1
問題
数列\(\{a_n\}\)を$$a_1 = 5, a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2}\ (n=1, 2, 3, \cdots)$$で定める。また数列\(\{b_n\}\)を$$b_n = \frac{a_...
math [math]1993年東京工業大学前期数学問題4
問題
\(n\)を自然数、\(P(x)\)を\(n\)次の多項式とする。\(P(0), P(1), \cdots, P(n)\)が整数ならば、すべての整数\(k\)に対して、\(P(k)\)は整数であることを証明せよ。
方針
...
math [math]1984年東京工業大学数学問題4
問題
定積分\(\displaystyle \int_{0}^{1}{e^x\mid x-a \mid dx}\)を最小にする\(a\)を求めよ。
方針
もちろん場合分けが必要になる。
解答
問題文の積分を\...
math [math]1994年東京工業大学数学問題3
問題
\((1)\) 定積分\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}{e^{-x}\sin{x}dx}\)を求めよ。\((2)\) 極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\in...
math [math]2018年東京工業大学数学問題3
問題
方程式$$e^x(1-\sin{x}) = 1$$について、次の問に答えよ。\((1)\) この方程式は負の実数解をもたないことを示せ。また、正の実数解を無限個もつことを示せ。\((2)\) この方程式の正の実数解を小さい順か...
math [math]1999年東京工業大学後期数学問題1
問題
極限値$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin^2{nx}}{1+x}dx}}$$を求めよ。
方針
極限を求めることは出来ないので、「相方」を持...