東京工業大学

問題 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{_{3n}\mathbb{C}_{n}}{_{2n}\mathbb{C}_{n}}\right)^{\frac{1}{n}}}\)を...

問題 次の問に答えよ。\((1)\) \(\mid x^2-x-23\mid\)の値が、\(3\)を法として\(2\)に合同である正の整数\(x\)をすべて求めよ。\((2)\) \(k\)個の連続した正の整数\(x_1, \cdo...

問題 いびつなサイコロがあり、\(1\)から\(6\)までのそれぞれの目が出る確率が\(\displaystyle \frac{1}{6}\)とは限らないとする。このサイコロを\(2\)回振ったとき同じ目が出る確率を\(P\)とし、...

問題 \((1)\) 正の整数\(n\)に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb...

問題 \(xy\)平面上の楕円$$E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$について、以下の問いに答えよ。\((1)\) \(a,\ b\)を実数とする。直線\(l:\ y = ax + b\)と楕円\(E\)が異なる...

問題 \(a, b\)を正の整数とする。\((i)\) \(c = a + b, d =a^2-ab+b^2\)とおくとき、不等式\(\displaystyle{1 < \frac{c^2}{d} \leq 4}\)が成り立つ...

問題 整数\(a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3} (n = 1, 2, 3, \cdots)\)のすべてを割り切る素数を求めよ。 方針 小さい\(n\)で実験してみると、答えはすぐに分かる。 ...

問題 実数\(a, b, c, x, y, z, p\)が次の\(4\)条件を満たしている。$$\begin{cases}a^2-b^2-c^2 > 0\\ ax + by+cz = p\\ ap < 0 \\ x > 0\e...

問題 数列\(\{a_n\}\)を\(a_1 = 1, a_n = 1 + \frac{1}{n^2}{a_{n-1}}^2\)で定める。このとき、\(\lim_{n\to\infty}{a_n}\)を求めよ。 方針 一...