東京工業大学

問題 数列\(\{a_n\}\)を\(a_1 = 1, a_n = 1 + \frac{1}{n^2}{a_{n-1}}^2\)で定める。このとき、\(\lim_{n\to\infty}{a_n}\)を求めよ。 方針 一...

問題 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、\((2-\sqrt{3})^n\)という形の数を考える。これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数\(m\)が存在して\(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\...

問題 \(\alpha\)は\(0 < \alpha < 1\)を満たす実数とする。任意の自然数\(n\)に対して、\(2^{n-1}\alpha\)の整数部分を\(a_n\)とし、\(2^{n-1}\alpha = a...

問題 複素平面上の異なる\(3\)点\(A, B, C\)を複素数\(\alpha, \beta, \gamma\)で表す。ここで\(A, B, C\)は同一直線上にないと仮定する。\((1)\)\(\triangle{ABC}\)...

問題 すべての\(x\)に対して\(|f^{\prime}(x)|<\frac{1}{2}\)となるとき、\((1)\)方程式\(f(x)-x=0\)がただ\(1\)つの実根をもつことを証明せよ。\((2)\)この実根を\(\...

問題 相異なる\(3\)つの複素数がある。これらのうちから重複を許してとったどの\(2\)つの積も、これらの\(3\)数のどれかであるという。\(3\)数の組を求めよ。 方針 とりあえず文字を置いてみる。 解答 ...