極限

問題 自然数\(k\)に対して、\(a_k = 2^{\sqrt{k}}\)とする。\(n\)を自然数とし、\(a_k\)の整数部分が\(n\)桁であるような\(k\)の個数を\(N_n\)とする。また、\(a_k\)の整数部分が\...

問題 \(xyz\)空間において、\(3\)点\((0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)\)を通る平面\(\pi_1\)と、\(3\)点\((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\)を...

問題 \((1)\) 正の整数\(k\)に対し、$$A_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}{|\sin{(x^2)}|dx}$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{1...

問題 赤玉が\(1\)個と白玉が\(3\)個入った容器\(A\)と、ほかに赤玉と白玉の入った容器\(B\)と\(C\)がある。いま\(A, B, C\)から無作為に\(1\)個ずつ合計\(3\)個の球を取り出し、これらからやはり無作...

問題 \(n\)は\(2\)以上の自然数とする。関数\(y = e^{x}\cdots\cdots\text{（ア）}, y = e^{nx}-1\cdots\cdots\text{（イ）}\)について以下の問に答えよ。\((1)\...

問題 \(10\)進法表示の\(n\)桁の正の整数で、隣り合う桁の数字が互いに相異なるような数の個数を\(a_n\)とするとき、次の問いに答えよ。\((1)\) \(a_n\)を求めよ。\((2)\) 上の数のうちで、\(1\)の位...

問題 以下の各問いに答えよ。ただし\(t\)は\(0 < t < \pi\)を満たす実数とする。\((1)\) 次の等式を証明せよ。$$\left(\cos{\frac{t}{2}}\right)\left(\cos{\...

問題 次の条件\((i), (ii), (iii)\)を満たす関数\(f(x)\ (x > 0)\)を考える。\((i)\) \(f(1) = 0\)\((ii)\) 導関数\(f^{\prime}(x)\)が存在し、\(f^...

問題 関数\(f(x) = \sin{2x} + a\cos{x}\)について、以下の各問いに答えよ。\((1)\) \(f(x)\)が区間\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \fr...

問題 \(a\)は\(\displaystyle 0 < a \leq \frac{\pi}{4}\)を満たす実数とし、\(\displaystyle f(x) = \frac{4}{3}\sin{\left(\frac{\p...