極限

問題 ${\displaystyle x_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^n\theta d\theta (n=0,1,2,\cdots )}$のとき、次の問に答えよ。\((1)...

問題 極限値$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}nx}{1+x}dx$$を求めよ。 方針 極限を求めることは出来ないので、「相方」を持...

問題 数列$\{c_n\}$を次の式で定める。$$c_n=(n+1){\int }_0^1{x}^n\cos \pi xdx(n=1,2,,\cdots )$$このとき、$(1)$ $c_n$と\(c_{...

問題 数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項までの和を$S_n$と表す。この数列が、$$a_1=0,a_2=1,(n-1{)}^2{a}_n=S_n(n\ge 1)$$を満たすとき、一般項...

問題 $f(x)=x^2+4n\cos x+1-4n(n=1,2,3,\cdots )$を考える。$(1)$ \(\displaystyle f(x) = 0, 0 < x < \fra...

問題 $0$または整数の値をとる変数$X,Y$がある。$X$が整数$n(n\ge 0)$の値をとる確率と、$Y$が$n(n\ge 0)$の値をとる確率はともに$p_n$であるとする（ここで\(\...

問題 ${\displaystyle a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}},b_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k+1}}}$とするとき、\(\...

問題 $a$が実数で$a<1$のとき、数列$x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots ,$を\(\displaystyle{x_0 = a, x_n = \frac{1}{2-x_{n-...

問題 $a_1=\frac{1}{2}$とし、数列$\{a_n\}$を漸化式$$a_{n+1}=\frac{a_n}{(1+a_n{)}^2}(n=1,2,3,\cdots )$$によって定める。このと...

問題 $\{a_n\}$を正の数からなる数列とし、$p$を正の実数とする。このとき$$a_{n+1}>\frac{1}{2}{a}_n-p$$をみたす番号$n$が存在することを証明せよ。 方針 漸化式を...