理系

問題 数列\(\{c_n\}\)を次の式で定める。$$c_n = (n+1)\int_{0}^{1}{x^n\cos{\pi x}dx}\ (n=1, 2, , \cdots)$$このとき、\((1)\) \(c_n\)と\(c_{...

問題 \(n\)を自然数とし、\(\displaystyle I_n = \int_{1}^{e}{(\log{x})^ndx}\)とおく。\((1)\) \(I_{n+1}\)を\(I_n\)を用いて表わせ。\((2)\) すべて...

問題 \(H > 0, R > 0\)とする。空間内において、原点\(O\)と点\(P(R, 0, H)\)を結ぶ線分を、\(z\)軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが\(h\)のと...

問題 \(i\)を虚数単位とし\(\displaystyle a = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}\)とおく。また\(n\)はすべての自然数にわたって動くとする。このとき\((...

問題 次の連立方程式\((*)\)を考える。$$(*)\begin{cases}y = 2x^2-1 \\ z = 2y^2-1\\ x = 2z^2-1 \end{cases}$$\((1)\) \((x, y, z) = (a,...

問題 曲線\(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(P\)における接線は\(x\)軸と交わるとし、その交点を\(Q\)とおく。線分\(PQ\)の長さを\(L\)とするとき、\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ。 ...

問題 整数を係数とする\(3\)次の多項式\(f(x)\)が次の条件\((*)\)を満たしている。\((*)\) 任意の自然数\(n\)に対し\(f(n)\)は\(n(n+1)(n+2)\)で割り切れる。このとき、ある整数\(a\)...

問題 \(0\)または整数の値をとる変数\(X, Y\)がある。\(X\)が整数\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率と、\(Y\)が\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率はともに\(p_n\)であるとする（ここで\(\...

問題 \(\displaystyle{a_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}, b_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{2k+1}}}}\)とするとき、\(\...

問題 \(2\)次方程式\(ax^2-bx+3c=0\)において、\(a, b, c\)は\(1\)桁の自然数であり、二つの解\(\alpha, \beta\)は\(1<\alpha<2, 5<\beta<6...