math [math]2006年京都大学理系後期数学問題5 問題 \(H > 0, R > 0\)とする。空間内において、原点\(O\)と点\(P(R, 0, H)\)を結ぶ線分を、\(z\)軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが\(h\)のと... 2021.12.29 math
math [math]1970年東京大学理系数学問題1 問題 \(i\)を虚数単位とし\(\displaystyle a = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}\)とおく。また\(n\)はすべての自然数にわたって動くとする。このとき\((... 2021.12.24 math
math [math]1997年京都大学理系後期数学問題4 問題 次の連立方程式\((*)\)を考える。$$(*)\begin{cases}y = 2x^2-1 \\ z = 2y^2-1\\ x = 2z^2-1 \end{cases}$$\((1)\) \((x, y, z) = (a,... 2021.12.24 math
math [math]2021年京都大学理系数学問題2 問題 曲線\(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(P\)における接線は\(x\)軸と交わるとし、その交点を\(Q\)とおく。線分\(PQ\)の長さを\(L\)とするとき、\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ。 ... 2021.12.24 math
math [math]1991年京都大学理系後期数学理学部専用問題 問題 整数を係数とする\(3\)次の多項式\(f(x)\)が次の条件\((*)\)を満たしている。\((*)\) 任意の自然数\(n\)に対し\(f(n)\)は\(n(n+1)(n+2)\)で割り切れる。このとき、ある整数\(a\)... 2021.12.24 math
math [math]1985年東京大学理系数学問題5 問題 \(0\)または整数の値をとる変数\(X, Y\)がある。\(X\)が整数\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率と、\(Y\)が\(n (n\geq 0)\)の値をとる確率はともに\(p_n\)であるとする(ここで\(\... 2021.12.24 math
math [math]1990年東京大学理系前期数学問題1 問題 \(\displaystyle{a_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}, b_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{2k+1}}}}\)とするとき、\(\... 2021.12.22 math
math [math]1989年京都大学理系後期数学理学部専用問題 問題 \(2\)次方程式\(ax^2-bx+3c=0\)において、\(a, b, c\)は\(1\)桁の自然数であり、二つの解\(\alpha, \beta\)は\(1<\alpha<2, 5<\beta<6... 2021.12.19 math
math [math]2000年京都大学後期理系数学問題3 問題 \(x, y\)平面上の点で\(x\)座標、\(y\)座標がともに整数である点を格子点という。\(a, k\)は整数で\(a\geq 2\)とし、直線\(L: ax + (a^2+1)y = k\)を考える。\((1)\) 直... 2021.12.17 math
math [math]1984年東京大学理系数学問題3 問題 \(2\)以上の自然数\(k\)に対して$$f_k(x) = x^k-kx+k-1$$とおく。このとき、次のことを証明せよ。\((1)\) \(n\)次多項式\(g(x)\)が\((x-1)^2\)で割り切れるためには、\(g... 2021.12.14 math