math [math]2000年京都大学後期理系数学問題3
問題
\(x, y\)平面上の点で\(x\)座標、\(y\)座標がともに整数である点を格子点という。\(a, k\)は整数で\(a\geq 2\)とし、直線\(L: ax + (a^2+1)y = k\)を考える。\((1)\) 直...
理系
math math [math]1984年東京大学理系数学問題3
問題
\(2\)以上の自然数\(k\)に対して$$f_k(x) = x^k-kx+k-1$$とおく。このとき、次のことを証明せよ。\((1)\) \(n\)次多項式\(g(x)\)が\((x-1)^2\)で割り切れるためには、\(g...
math [math]1997年京都大学後期数学過去問問題2
問題
自然数\(n\)と\(n\)項数列\(a_k (1\leq k\leq n)\)が与えられていて、次の条件（イ）、（ロ）を満たしている。（イ）\(a_k (1\leq k\leq n)\)はすべて正整数で、すべて\(1\)と\...
math [math]1993年京都大学後期理系数学問題3
問題
\(a\)は正の定数とする。不等式\(a^{x}\geq ax\)がすべての正の数\(x\)に対して成り立つという。このとき\(a\)はどのようなものか。
方針
「文字定数は分離せよ」。
解答
\(a,...
math [math]1999年前期京都大学理系数学問題3
問題
\((1)\) \(a_0 < b_0, a_1 < b_1\)を満たす正の実数\(a_0, b_0, a_1, b_1\)について、次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{{b_1}^2}{{a_0}^2...
math [math]1990年東京大学理系前期数学問題2
問題
\(3\)次関数\(h(x) = px^3+qx^2+rx + s\)は次の条件\((i), (ii)\)をみたすものとする。\((i)\) \(h(1) = 1, h(-1) = -1\)\((ii)\) \(-1<x...
math [math]1991年東京大学理系数学問題4
問題
\((1)\) 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、ある多項式\(p_n(x), q_n(x)\)が存在して、$$\sin{n\theta} = p_n(\tan{\theta})\cos^n{\th...
math [math]1991年東京大学前期理系問題3
問題
定数\(p\)に対して、\(3\)次方程式$$x^3-3x-p = 0$$の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を\(f(p)\)とする。ただし、実数解がただ一つのときには、その\(2\)乗を\(f(p)\)とする。\((...
math [math]1996年京都大学理系後期数学問題1
問題
\(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...
math [math]1995年京都大学理系後期数学問題3
問題
\(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\...